Dạng toán chúng ta thường gặp ở bậc trung học cơ sở là những bài toán chứng minh liên quan đến hằng đẳng thức. Trong đó bài toán hãy chứng minh a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) đã được rất nhiều các bạn đọc hỏi. Vì vậy hôm nay chúng tôi sẽ giúp bạn chứng minh biểu thức này. Để bạn có thể dễ dàng làm một số bài toán tương tự. Ngoài ra chúng tôi sẽ giúp bạn ôn lại những kiến thức liên quan đến hằng đẳng thức. Bài viết dưới đây cũng sẽ giúp bạn luyện tập dạng toán này với một số bài toán mẫu. Mọi người đừng bỏ qua những thông tin dưới đây nhé.
nội dung
Một số kỹ năng và kiến thức về hằng đẳng thức bạn nên nhớ
Điều quan trọng để giải được một bài toán đó chính là bạn phải nắm vững phần kim chỉ nan. Đối với bài : a3 + b3 + c3 – 3 abc = ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ) thì tất cả chúng ta phải rõ về hằng đẳng thức. Kết hợp với kiến thức và kỹ năng của phần nghiên cứu và phân tích đa thức thành nhân tử để chứng tỏ biểu thức này. Sau đây là một số ít phần triết lý bạn nên nhớ .
Các hằng đẳng thức đáng nhớ
( a + b ) 2 = a2 + 2 ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b )
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2 )
a3 – b3 = ( a + b ) ( a2 + ab + b2 )
( a + b ) 3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
( a – b ) 3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3
Phân tích đa thức thành nhân tử
Khi chứng tỏ một biểu thức tất cả chúng ta thường sử dụng những chiêu thức nghiên cứu và phân tích đa thức thành nhân tử để vận dụng. Với những giải pháp như thêm bớt số hạng, vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. Ngoài ra còn có chiêu thức đưa về nhân tử chung và phối hợp những chiêu thức lại với nhau. Như tất cả chúng ta đã thấy bài toán chứng tỏ a3 + b3 + c3 – 3 abc = ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ) biểu thức tất cả chúng ta cần sẽ phải đưa về dạng nhân tử. Để biết rõ hơn cách giải bài toán này thì mọi người hãy theo dõi bài viết sau .
Hãy chứng tỏ biểu thức a3+ b3+ c3– 3 abc = ( a + b + c ) ( a2+ b2+ c2– ab – bc – ca )
Với phần trên chính là phần lý thuyết sẽ giúp ích cho chúng ta trong việc giải bài toán liên quan đến chứng minh các hằng đẳng thức. Và sau đây là trình tự giải bài toán Hãy chứng minh biểu thức a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) với các bước đơn giản nhất.
Ta sẽ nghiên cứu và phân tích a3 + b3 + c3 – 3 abc ( 1 ) thành nhân tử, ta có :
( a + b ) 3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 suy ra : a3 + b3 = ( a + b ) 3 – 3 ab ( a + b ) ( vận dụng hằng đẳng thức )
Như vậy : ( 1 ) tương tự ( a + b ) 3 – 3 ab ( a + b ) + c3 – 3 abc = ( a + b ) 3 + c3 – ( 3 ab ( a + b ) + 3 abc )
= ( a + b + c ) ( a2 + 2 ab + b2 – ( a + b ) c + c2 ) – 3 ab ( a + b + c ) = ( a + b + c ) ( a2 + 2 ab + b2 – ( a + b ) c + c2 – 3 ab ) = ( a + b + c ) ( a2 + 2 ab + b2 – ac – bc + c2 – 3 ab ) = ( a + b + c ) ( a + b2 c2 – ac – bc – ab ) = vế phải. ( điều phải chứng tỏ )
Kết luận : a3 + b3 + c3 – 3 abc = ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca )
Một số bài toán về chứng tỏ biểu thức bạn nên làm
Bài tập 1
Chứng minh những biểu thức sau :
-
(a+b)(a
2– ab + b2) + ( a – b ) ( a2+ ab + b2) = 2 a3
- ( a2+ b2) ( c2+ d2) = ( ac + bd )2+ ( ad – bc )2
Gợi ý : để làm được dạng bài toán này thì tất cả chúng ta hãy sử dụng những hằng đẳng thức ở trên và vận dụng những giải pháp nghiên cứu và phân tích đa thức thành nhân tử .
Bài tập 2
Cho số tự nhiên a chia cho 5 thì có hiệu quả dư 4. Bạn hãy chứng tỏ a2 chia cho 5 thì dư 1 .
Giải : vì a chia cho 5 dư 4 thì số đó sẽ có dạng là : a = 5 k + 4 ( với k là số tự nhiên )
Khi đó : a2 = ( 5 k + 4 ) 2 = 25 k2 + 40 k + 16 = 25 k2 + 40 k + 15 + 1 = ( 25 k2 + 40 k + 15 ) + 1 = 5 ( 5 k2 + 8 k + 3 ) + 1. Như vậy ( 5 k + 4 ) 2 chia cho 5 sẽ dư 1. Và a2 chia cho 5 cũng dư 1 .
Bài tập 3
Chứng minh rằng : a. x2 – 6 x + 10 > 0 với mọi x
-
4x- x
2– 5 < 0 với mọi x
Gợi ý : bạn hãy sử dụng hằng đẳng thức để chứng tỏ bất đẳng thức trên. Đối với những bất đẳng thức thì chứng tỏ sẽ tương tự như với những đẳng thức .
Cuối cùng, bài toán a3+b3+c3-3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) cũng đã được hướng dẫn giải một cách chi tiết và dễ hiểu. Với các dạng toán như thế này mọi người chỉ cần sử dụng các hằng đẳng thức và các phương pháp phân tích đa tích thành nhân tử để giải quyết một cách dễ dàng. Và điều quan trọng khi giải các dạng toán này đó chính là bạn phải nhớ các hằng đẳng thức đó một cách chính xác. Và rèn luyện chăm chỉ để có được sự phản xạ nhanh khi gặp các dạng toán này. Ngoài những bài toán trên thì mọi người hãy tìm và đọc các dạng toán tương tự ở trên những diễn đàn học tập hay là những quyển sách tham khảo. Làm bài tập nhiều sẽ giúp bạn làm quen hơn với các dạng toán. Hi vọng những thông tin trên sẽ giúp mọi người thành thạo hơn với dạng toán này. Nếu còn chưa rõ điều gì thì mọi người hãy comment ở dưới bài viết này nhé.
Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Thông tin cần biết