nội dung
Các dạng bài tập Tính đơn điệu của hàm số chọn lọc, có đáp án
Các dạng bài tập Tính đơn điệu của hàm số chọn lọc, có đáp án
Phần Tính đơn điệu của hàm số Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Tính đơn điệu của hàm số hay nhất tương ứng.
Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Cách xét tính đơn điệu của hàm số
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( tăng ) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( giảm ) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng chừng K thì f ‘ ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ K và f ‘ ( x ) = 0 xảy ra tại 1 số ít điểm hữu hạn .
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng chừng K thì f ‘ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ K và f ‘ ( x ) = 0 xảy ra tại một số ít điểm hữu hạn .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f ‘ ( x ) > 0, ∀ x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng chừng K .
Nếu f ‘ ( x ) < 0, ∀ x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng chừng K .
Nếu f ' ( x ) = 0, ∀ x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng chừng K .
4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.
Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 – 6×2 + 9x -3
Hướng dẫn
Tập xác lập : D = R
Ta có y ‘ = 3×2 – 12 x + 9
y’ = 0 ⇔
Bảng biến thiên :
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) và ( 3 ; + ∞ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 1 ; 3 )
Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)
Hướng dẫn
Tập xác lập D = [ 0 ; 2 ]
Ta có : y’ = y’ = 0 ⇔ x=1
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( 0 ; 1 ) ; Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 1 ; 2 )
Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 – x)
Hướng dẫn
Hàm số xác lập và liên tục trên D = R { 1 } .
Tìm y’ = > 0; ∀x ≠ 1.
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) và ( 1 ; + ∞ ) .
Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)
⇒ f ‘ ( x ) = 3 ax2 + 2 bx + c
Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi
Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi
2. Hàm phân thức bậc nhất:
Hàm số đồng biến trên các khoảng chừng xác lập khi y ‘ > 0 hay ad-bc > 0
Hàm số nghịch biến trên các khoảng chừng xác lập khi y ‘ > 0 hay ad-bc < 0
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số đồng biến trên tập xác định.
Hướng dẫn
+ Tập xác lập : D = R
+ Ta có : y ‘ = x2 + 2 ( m + 1 ) x – ( m + 1 )
+ Δ ‘ = ( m + 1 ) 2 + 4 ( m + 1 ) = mét vuông + 6 m + 5
+ Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì
Vậy giá trị của tham số cần tìm là – 5 ≤ m ≤ – 1
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.
Hướng dẫn
+ Tập xác lập : D = R
+ Đạo hàm y ‘ ≠ ( m2-m ) x2 + 4 mx + 3
+ Hàm số luôn đồng biến trên R y’≥0 ∀ x∈R
Xét m2-m=0 ⇒
Với m = 0 phương trình trở thành y = 3 x – 1 ; y ‘ = 3 > 0 ∀ x ∈ R
⇒ m = 0 thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán .
Với m = 1 phương trình trở thành y = 2×2 + 3 x – 1 ; y ‘ = 4 x + 3
Khi đó y’>0 4x+3>0 x<-3/4
⇒ m = 1 không thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán .
Xét m2-m≠0
Khi đó
Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là – 3 ≤ m < 0
Ví dụ 3: Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Hướng dẫn
+ Tập xác lập : D = R { m }
+ Đạo hàm . Dấu của y’ là dấu của biểu thức -m2-7m+8
+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định y’>0 ∀x∈D
-m2-7m+8>0 -8
Vậy giá trị m cần tìm là -8
Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm y’
Hàm số đồng biến trên khoảng chừng K khi và chỉ khi y ‘ ≥ 0 ∀ x ∈ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng K khi và chỉ khi y ‘ ≤ 0 ∀ x ∈ K
Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)
Bước 4: Kết luận
m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥
m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤
Một số hàm số thường gặp
Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
⇒ f ‘ ( x ) = 3 ax2 + 2 bx + c
Với a > 0 và f ‘ ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2
Hàm số đồng biến trên ( α ; β ) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x2
Hàm số nghịch biến trên ( α ; β ) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2
Với a < 0 và f ' ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2
Hàm số đồng biến trên ( α ; β ) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2
Hàm số nghịch biến trên ( α ; β ) khi và chỉ khi β ≤ x1 hoặc α ≥ x2
Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y’= (ad – bc)/(cx + d)2
Hàm số đồng biến trên khoảng chừng K khi và chỉ khi ad-bc > 0 và – d / c ∉ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng K khi và chỉ khi ad – bc < 0 và - d / c ∉ K
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 – mx2+(1 – 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)
Hướng dẫn
TXĐ : D = R
Ta có y ‘ = x2 – 2 mx + 1 – 2 m
Hàm số đã cho đồng biến trên ( 1 ; + ∞ ) ⇔ ∀ x ∈ ( 1 ; + ∞ ), y ‘ ≥ 0
⇔ ∀ x ∈ ( 1 ; + ∞ ), x2 – 2 mx + 1 – 2 m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈ ( 1 ; + ∞ ), x2 + 1 ≥ 2 m ( x + 1 )
⇔ ∀ x ∈ ( 1 ; + ∞ ), 2 m ≤ ( x2 + 1 ) / ( x + 1 ) ( do x + 1 > 0 khi x > 1 )
Xét hàm số f ( x ) = ( x2 + 1 ) / ( x + 1 ), x ∈ ( 1 ; + ∞ )
f'(x) = (x2 + 2x – 1)/(x + 1)2 >0 với mọi x (1;+∞)
Ta có bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên để 2 m ≤ f ( x ), ∀ x ∈ ( 1 ; + ∞ ) thì 2 m ≤ 1 ⇔ m ≤ 50%
Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x – 1)/(x – m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)
Hướng dẫn
TXĐ : D = R { m } .
Ta có y ‘ = ( – 2 m + 1 ) / ( x – m ) 2. Để hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( 2 ; 3 ) thì hàm só phải xác lập trên khoảng chừng ( 2 ; 3 ) và y ‘ < 0 ∀ x ∈ ( 2 ; 3 ) .
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là
Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx3 – x2 + 3x + m – 2 đồng biến trên (-3 ; 0)
Hướng dẫn
TXĐ : D = R
Ta có y ‘ = 3 mx2 – 2 x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( – 3 ; 0 ) khi và chỉ khi :
y ‘ ≥ 0, ∀ x ∈ ( – 3 ; 0 ) ( Dấu ‘ ‘ = ‘ ‘ xảy ra tại hữu hạn điểm trên ( – 3 ; 0 ) )
⇔ 3 mx2 – 2 x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈ ( – 3 ; 0 )
⇔ m ≥ ( 2 x – 3 ) / ( 3×2 ) = g ( x ) ∀ x ∈ ( – 3 ; 0 )
Ta có : g ‘ ( x ) = ( – 2 x + 6 ) / ( 3×3 ) ; g ‘ ( x ) = 0 ⇔ x = 3
Bảng biến thiên
Vậy m ≥ = -1/3.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com
Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập