Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn dễ hiểu

banner-tuc-giac-noi-tiep-thcsbevandan-3166719

Tứ giác nội tiếp đường tròn là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học Euclid. Việc chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn không chỉ giúp ta hiểu sâu hơn về tính chất của tứ giác này mà còn là bước đệm quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên, việc chứng minh này không phải lúc nào cũng dễ dàng.

Vì vậy, trong bài viết này, thcsbevandan.edu.vn sẽ giới thiệu đến các bạn những cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn dễ hiểu, giúp các bạn có thể tiếp cận và hiểu bài toán một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn.

nội dung

1. Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp là một hình học phẳng trong đó tứ giác có tất cả các đỉnh đều nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó được gọi là đường tròn nội tiếp của tứ giác. Điều kiện cần để tứ giác là nội tiếp là tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ.

Cụ thể: Như hình minh họa dưới đây, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp với đường tròn tâm O, vì nhìn vào hình, ta thấy được cả 4 đỉnh của tứ giác ABCD đều nằm trên đường tròn tâm O này.

2. Các tính chất của tứ giác nội tiếp?

Dưới đây là một số tính chất của tứ giác nội tiếp:
Đường chéo của tứ giác nội tiếp là đường kính của đường tròn nội tiếp.
Tâm đường tròn nội tiếp của tứ giác nội tiếp trùng với trung điểm của hai đường chéo của tứ giác.
Tổng hai góc trong của tứ giác nội tiếp bằng 180 độ.
Tổng hai cặp góc đối diện của tứ giác nội tiếp bằng 180 độ.
Tổng độ dài hai cặp cạnh đối diện của tứ giác nội tiếp bằng nhau.
Diện tích tứ giác nội tiếp được tính bằng công thức diện tích tam giác bằng nửa tích tích hai đường chéo của tứ giác.
Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp tới một đỉnh của tứ giác bằng khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp tới đường thẳng chứa cạnh đối diện của đỉnh đó.
Nếu một tứ giác có một cặp đường chéo vuông góc với nhau thì nó là một tứ giác nội tiếp.

3. Định lý về tứ giác nội tiếp?

Định lý về tứ giác nội tiếp (hay còn gọi là định lý của Ptolemy) là một định lý quan trọng trong hình học Euclid. Định lý nói rằng: “Trong một tứ giác nội tiếp, tích của độ dài hai đường chéo bằng tổng tích của độ dài hai cặp cạnh đối diện.” Nói cách khác, nếu ABCD là một tứ giác nội tiếp, thì:

AB x CD + BC x DA = AC x BD.

Định lý về tứ giác nội tiếp có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến đường tròn nội tiếp của tứ giác, ví dụ như tính độ dài đường kính hoặc diện tích của đường tròn nội tiếp. Nó cũng có ứng dụng trong các lĩnh vực khác như vật lý và cơ học.

Ngoài ra, ta còn có định lý thuận và đảo về tứ giác nội tiếp:

+ Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 180º

+ Định lý đảo: Nếu một tứ giác có có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180º thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

4. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp bao gồm:

Đường chéo chính là trung tuyến của tam giác có ba đỉnh còn lại: Nếu trong một tứ giác ABCD, đường chéo chính AC của nó là trung tuyến của tam giác ABD hoặc tam giác BCD, thì tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.
Hai cặp góc đối diện của tứ giác bằng nhau: Nếu trong một tứ giác ABCD, góc A và C hay góc B và D đều bằng nhau, thì tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.
Tổng hai góc kề bên của tứ giác bằng 180 độ: Nếu trong một tứ giác ABCD, tổng của hai góc kề bên A và B hoặc C và D bằng 180 độ, thì tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.
Hai đường chéo của tứ giác cắt nhau ở trung điểm của chúng: Nếu trong một tứ giác ABCD, đường chéo chính AC cắt đường chéo phụ BD tại trung điểm của chúng, thì tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.
Tổng tích của độ dài đường chéo bằng tổng tích của độ dài hai cặp cạnh đối diện: Nếu trong một tứ giác ABCD, tích của độ dài đường chéo AC và BD bằng tổng tích của độ dài cạnh AB và CD hoặc cạnh AD và BC, thì tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.

Theo Bigone.vn, nếu tứ giác thỏa mãn một trong các dấu hiệu trên, thì nó có thể là một tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên, để xác định chính xác liệu tứ giác có nội tiếp hay không, ta cần kiểm tra tính đúng đắn của các tính chất hình học liên quan đến nó.

5. Những cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Dưới đây là một số cách chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp:

Sử dụng định lí Ptolemy: Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O, thì ta có công thức: AB x CD + BC x DA = AC x BD. Nếu ta có giá trị của bốn cạnh, ta có thể kiểm tra xem công thức trên có đúng hay không. Nếu công thức đúng, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Sử dụng tính chất góc nội tiếp và góc ngoài tiếp: Nếu tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn, thì tổng hai góc kề bên A và B, hay C và D bằng 180 độ. Ngoài ra, góc ngoài tiếp tại mỗi đỉnh của tứ giác bằng góc nội tiếp đối diện. Nếu ta có thể chứng minh được các tính chất này, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Sử dụng đường chéo chính: Nếu đường chéo chính AC của tứ giác ABCD là trung tuyến của tam giác ABD hoặc tam giác BCD, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Ta cũng có thể sử dụng các đường chéo khác để chứng minh.
Sử dụng điểm trùng điểm: Nếu hai đường chéo của tứ giác ABCD cắt nhau tại một điểm E trùng với tâm của đường tròn nội tiếp của tứ giác, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Sử dụng định lí của Euclid: Định lí của Euclid nói rằng, trong một tam giác, nếu có một đường đi qua đỉnh và cắt đường chéo chính của tam giác một cách đồng tâm với đường tròn nội tiếp của tam giác, thì đường đó sẽ cắt đường chéo phụ của tam giác thành hai phần bằng nhau. Nếu ta áp dụng định lí này vào tứ giác ABCD, và kết quả ta được là hai đường chéo chia tứ giác thành hai nửa bằng nhau, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Sử dụng đường trung trực: Nếu ta vẽ đường trung trực của cả hai đường chéo của tứ giác ABCD, và hai đường trung trực cắt nhau tại một điểm O, thì O là tâm của đường tròn nội tiếp của tứ giác ABCD.
Sử dụng đường cao: Nếu ta vẽ đường cao xuống từ một đỉnh của tứ giác ABCD đến đường chéo phụ của nó, và các đường cao này cắt nhau tại một điểm O, thì O là tâm của đường tròn nội tiếp của tứ giác ABCD.
Sử dụng phép chiếu vuông: Nếu ta vẽ đường phân giác của góc tạo bởi hai cạnh bất kỳ của tứ giác ABCD và sau đó sử dụng phép chiếu vuông để chiếu các đỉnh của tứ giác lên đường phân giác này, thì các điểm chiếu vuông này sẽ nằm trên một đường thẳng. Nếu các điểm chiếu vuông này đồng thời cũng nằm trên một đường tròn, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Sử dụng đường trung bình: Nếu ta vẽ đường trung bình của một cạnh bất kỳ của tứ giác ABCD và đường trung bình này cắt đường chéo chính của tứ giác tại một điểm O, thì O là tâm của đường tròn nội tiếp của tứ giác ABCD.

Kết luận

Trên đây là một số cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, tuy nhiên cần lưu ý rằng việc chọn cách chứng minh phù hợp với từng trường hợp cụ thể sẽ giúp chứng minh được nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Hy vọng với những cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn dễ hiểu mà thcsbevandan.edu.vn đã giới thiệu trong bài viết này, các bạn sẽ có thêm nhiều phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến tính chất của tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên, để thành thạo hơn trong việc giải quyết các bài toán này, các bạn cần luyện tập thường xuyên và nâng cao kiến thức hình học của mình. Chúc các bạn thành công!