1. Tích phân là gì ?

Tích phân là một khái niệm sử dụng nhiều trong toán 12 cùng với nghịch đảo của nó là vi phân. Chúng có vai trò quan trọng là 2 phép tính cơ bản, chủ chốt trong nghành nghề dịch vụ giải tích. Theo tiếng Hán Việt, tích được hiểu là tích cóp còn phân có nghĩa là từng phần nhỏ. Như vậy ta hoàn toàn có thể hiểu đơn thuần rằng tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ. Trong toán học thì tích phân được định nghĩa như sau :
Cho hàm f ( x ) liên tục trên một khoảng chừng xác lập ( kí hiệu : K ) và a, b là hai số thực bất kể thuộc K. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) thì hiệu số của F ( b ) – F ( a ) được gọi là tích phân của f ( x ) trong khoảng chừng ( a, b ). Từ đó, ta có ký hiệu như sau :

Tích phân từ a đến b của f(x) được ký hiệu là: $int_{a}^{b}f(x)dx$

Ta có : $ int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx = F ( b ) – F ( a ) USD ( với F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) )
Trong đó

• ∫ : tích phân
• dx : biến của tích phân .
• f ( x ) dx : biểu thức dưới dấu tích phân

2. Tính chất của tích phân xác lập

Để thành thạo các giải pháp giải tích phân để vận dụng giải bài tập, các bạn học viên cùng VUIHOC điểm qua 1 số ít những đặc thù của tích phân thường gặp nhé !
( 1 ) Tích phân tại một giá trị xác lập của biến số thì bằng 0
USD int_ { a } ^ { a } f ( x ) = 0 USD
( 2 ) Đảo cận thì đổi dấu
USD int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx = – int_ { b } ^ { a } f ( x ) dx USD
( 3 ) Hằng số trong tích phân hoàn toàn có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân
USD int_ { b } ^ { a } k times f ( x ) dx = k times int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx USD
( 4 ) Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân
USD int_ { a } ^ { b } [ f_ { 1 } ( x ) pm f_ { 2 } ( x ) pm … pm f_ { n } ( x ) ] dx = int_ { a } ^ { b } f_ { 1 } ( x ) dx pm int_ { a } ^ { b } f_ { 2 } ( x ) dx pm … pm int_ { a } ^ { b } f_ { n } ( x ) dx USD
( 5 ) Tác đôi tích phân
USD forall gamma in [ a, b ] Rightarrow int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx = int_ { a } ^ { gamma } f ( x ) dx + int_ { gamma } ^ { b } f ( x ) dx USD
( 6 ) So sánh giá trị của tích phân

• USD f ( x ) geq 0 $ trên đoạn $ [ a, b ] Rightarrow int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx geq 0 USD
• USD f ( x ) geq g ( x ) USD trên đoạn $ [ a, b ] Rightarrow int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx geq int_ { a } ^ { b } g ( x ) dx USD
• USD m leq f ( x ) leq M $ trên đoạn $ [ a, b ] Rightarrow m ( b-a ) leq int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx leq M ( b-a ) USD

Ngoài ra còn một vài đặc thù tích phân xác lập mà các em thường gặp khi làm bài thi mà không hề bỏ lỡ :

3. Bảng công thức tích phân cơ bản học viên 12 phải ghi nhớ

Để làm được các dạng bài tập tích phân các em cần lưu và ghi nhớ ngay bảng công thức sau đây :

4. Phương pháp giải các dạng bài tập tích phân

4.1. Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục trên [ a ; b ] thì ta có :
USD int_ { a } ^ { b } u ( x ) v ‘ ( x ) dc = ( u ( x ) v ( x ) ) left | begin { matrix } b a end { matrix } right. – int_ { a } ^ { b } v ( x ) u ‘ ( x ) dx USD
Hay $ int_ { a } ^ { b } udv = uv left | begin { matrix } b a end { matrix } right. – int_ { b } ^ { a } vdu USD
Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính $ int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx USD bằng chiêu thức tích phân từng phần sau đây :
Bước 1 : Viết f ( x ) dx dưới dạng udv = uv’dx bằng cách chọn một phần tích hợp của f ( x ) làm u ( x ) và phần còn lại dv = v ‘ ( x ) dx
Bước 2 : Tính du = u’dx và $ u = int dv = int v ‘ ( x ) dx USD
Bước 3 : Tính $ int_ { a } ^ { b } vdu = int_ { a } ^ { b } vu’dx USD và uv $ left | begin { matrix } b a end { matrix } right. $
Bước 4 : Áp dụng công thức $ int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx = int_ { a } ^ { b } uvd = uv left | begin { matrix } b a end { matrix } right. – int_ { a } ^ { b } vdu USD

4.2. Giải bài tập tích phân bằng cách nghiên cứu và phân tích

Với giải pháp tích phân từng phần các em hoàn toàn có thể sử dụng các như nhau các công thức sau đó đổi khác các biểu thức dưới dấu tích phân để trở thành tổng của các hạng tử như sau :
Ví dụ : Tính tích phân USD I = int_ { 2 } ^ { 2 } frac { x ^ { 2 } – 2 x } { 3 } dx USD
Giải :

Ta có: $I=int_{1}^{2}(frac{1}{x}-frac{2}{x^{2}})dx=(lnleft | x right |+frac{2}{x})left|begin{matrix}
2\1 end{matrix}right.=(ln2+1)-(ln1+2)=ln2-1$

4.3. Phương pháp tích phân đổi biến số

Với chiêu thức biến hóa thì sẽ có 2 dạng và mỗi dạng là một cách tính khác nhau. Cụ thể là :

Dạng 1:

Để tính tích phân : USD I = int_ { a } ^ { b } g ( x ) dx $ ta thực thi các bước sau đây :
Bước 1 : Chọn biến số :

• Phân tích g ( x ) dx = f [ u ( x ) ] u ‘ ( x ) dx = f [ u ( x ) ] d [ u ( x ) ]
• Đặt u = u ( x )

Bước 2 : Thực hiện phép đổi cận

• Với x = a thì u = u ( a )
• Với x = b thì u = u ( b )

Bước 3 : Khi đó ta có $ int_ { a } ^ { b } g ( x ) dx = int_ { u ^ { ( a ) } } ^ { u ^ { b } } f ( u ) du $

Dạng 2:

Để tính tích phân : USD I = int_ { a } ^ { b } f ( x ) dx USD có hàm số f ( x ) liên tục trên [ a ; b ], ta làm theo các bước :
Bước 1 : Chọn USD x = varphi ( t ) USD, trong đó $ varphi ( t ) USD nằm trong tập xác lập của f .
Bước 2 : Giả sử $ varphi ‘ ( t ) USD liên tục, lấy vi phân dx = dx = $ varphi ( t ) dt USD
Bước 3 : Ở đây, các em hoàn toàn có thể chọn một trong hai cách sau :
– Cách 1 : Tính các cận $ alpha USD và $ beta USD tương ứng theo a và b ( điều kiện kèm theo $ a = varphi ( alpha USD và USD b = varphi ( beta ) USD ), khi đó ta được : USD I = int_ { alpha } ^ { beta } f ( varphi ( t ). varphi ( t ) dt USD
– Cách 2 : Tính theo cách xác lập nguyên hàm để tìm ra giá trị của tích phân xác lập ( lúc này $ alpha USD phải là đơn ảnh để bộc lộ tác dụng của hàm số t thành hàm số của x )
a ) Với USD I = int_ { 1 } ^ { 1/2 } f ( x ) dx USD, lựa chọn ẩn phụ x = sint và USD – frac { pi } { 2 } leq t leq frac { pi } { 2 } $, ta hoàn toàn có thể làm theo cách 1 vì lúc này với x = 0 ta có t = 0, với USD x = frac { 1 } { 2 } $ ta có USD t = frac { pi } { 6 } $
b ) Với USD I = int_ { 1 } ^ { 1/3 } f ( x ) dx USD, lựa chọn ẩn phụ x = sint và USD – frac { pi } { 2 } leq t leq frac { pi } { 2 } $, ta hoàn toàn có thể làm theo cách 2 vì lúc này với USD x = frac { 1 } { 3 } $ sẽ không chỉ ra được số đo góc t .

4.4. Phương pháp vi phân

Vi phân của hàm số y = f ( x ) được ký hiệu dy và cho bởi dy = df ( x ) = y’dx = f ’ ( x ) dx
Một số công thức vi phân quan trọng cần phải nhớ :
( 1 ) USD dx = frac { 1 } { a } d ( ax pm b ) = frac { – 1 } { a } d ( b pm ax ) USD
( 2 ) USD xdx = frac { 1 } { 2 } d ( x ^ { 2 } = frac { 1 } { 2 a } d ( ax ^ { 2 } pm b ) = – frac { 1 } { 2 a } d ( b pm ax ^ { 2 } ) USD
( 3 ) USD x ^ { 2 } dx = frac { 1 } { 3 } d ( x ^ { 3 } pm b ) = frac { – 1 } { 3 a } d ( b pm ax ^ { 3 } ) USD
( 4 ) USD sin x = – d ( cosx ) = frac { – 1 } { a } d ( a cos x pm b ) USD
( 5 ) USD cos xdx = d ( sinx ) = frac { 1 } { a } d ( asin x pm b ) USD
( 6 ) $ frac { dx } { cos ^ { 2 } x } = d ( tanx ) = frac { 1 } { a } d ( a tan x pm b ) USD
( 7 ) $ frac { dx } { sin ^ { 2 } x } = – d ( cotx ) = frac { – 1 } { a } d ( acotx pm b ) USD
( 8 ) $ frac { dx } { 2 sqrt { x } } = d ( sqrt { x } ) = frac { 1 } { a } d ( a sqrt { x } pm b ) = frac { – 1 } { a } d ( b pm a sqrt { x } ) USD
( 9 ) USD e ^ { x } dx = d ( e ^ { x } ) = frac { 1 } { a } d ( ae ^ { x } pm b ) = frac { – 1 } { a } d ( b pm ae ^ { x } ) USD
( 10 ) $ frac { dx } { x } = d ( lnx ) = frac { 1 } { ad ( alnx pm b ) } = frac { – 1 } { a } d ( b pm alnx ) USD

>> Xem thêm:

5. Phối hợp các phương pháp đối với bài tập dạng nâng cao

Sau khi đã nắm được các chiêu thức giải bài tập tích phân thì dưới đây sẽ là một vài ví dụ :

Để ôn tập nhiều dạng bài về tích phân, các em cùng thầy Thành Đức Trung tổng ôn và luyện đề các bài tập nguyên hàm tích phân nhé! Trong video này, thầy Trung sẽ có rất nhiều mẹo giải hay, các bấm máy CASIO giải tích phân cực nhanh.

Trên đây là hàng loạt công thức và các dạng bài tập tích phân thường gặp. Tuy nhiên nếu em muốn đạt tác dụng tốt thì hãy ôn tập nhiều công thức toán 12 và làm thêm các dạng bài khác nữa. Em hoàn toàn có thể truy vấn Vuihoc. vn và ĐK thông tin tài khoản để luyện đề ! Chúc các em đạt tác dụng cao trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia sắp tới .

>> Xem thêm:

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Thông tin cần biết