Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

1) Nếu số hạng tổng quát cho dưới dạng
thì:

Thu gọn un, dựa vào biểu thức thu gọn để chặn un .

Ta cũng có thể chặn tổng
bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.

2 ) Nếu dãy số ( un ) cho bởi một hệ thức truy hồi thì :
Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng tỏ bằng giải pháp chứng tỏ quy nạp .
Ta cũng hoàn toàn có thể xét tính đơn điệu ( nếu có ) sau đó giải bất phương trình un + 1 − un dựa vào đó chặn ( un ) .
3 ) Nếu số hạng tổng quát cho bởi công thức thì ta dựa vào chiêu thức nhìn nhận ( quan tâm n ∈ N * )

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) có

A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

* Với n∈ N* ta có :

Nên dãy số bị chặn dưới bởi 0

+ Lại có;
với n ∈ N*

Nên dãy ( un ) bị chặn trên bởi 2 .
=> dãy số ( un ) bị chặn .
Chọn A .

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) biết un = (−1)n

A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> − 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n nên ( un ) là dãy số bị chặn .
Chọn A .

Quảng cáo

Ví dụ 3: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) biết un = 4n − 2

A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

Ta có n ≥ 1 nên 4 n − 2 ≥ 2
=> dãy số ( un ) bị chặn dưới bởi 2 và dãy ( un ) không bị chặn trên .
Chọn D .

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số ( un ) bị chặn trên .
B.Dãy số ( un ) bị chặn dưới .
C. Dãy số tăng .
D. Dãy số không bị chặn .

Hướng dẫn giải:

+ Xét hiệu :

Vậy ( un ) là dãy số tăng .

+ Ta có:

suy ra ∀ n ∈ N * ; un < 2 nên ( un ) bị chặn trên. ( 1 )

Vì (un) là dãy số tăng nên

=> ( un ) bị chặn dưới. ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra ( un ) bị chặn .
=> D sai .
Chọn D .

Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi un = 1 + (n − 1). 2n. Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng .

B. Công thức truy hồi của dãy số là:

C. 5 số hạng tiên phong của dãy số là 1,5,17, 49, 129 .
D. Dãy số bị chặn trên .

Hướng dẫn giải:

+ Ta có :

=> C đúng

+ Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

+ Ta có : un + 1 − un = ( n + 1 ). 2 n > 0
Suy ra dãy số ( un ) là dãy số tăng .
Ta có : un = 1 + ( n − 1 ). 2 n ≥ 1 với ∀ n ≥ 1
=> ( un ) là dãy số bị chặn dưới .
=> D sai .
Chọn D .

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho dãy số (un) xác định bởi
. Chọn mệnh đề đúng.

A. Dãy số ( un ) bị chặn trên ; không bị chặn dưới .
B. Dãy số ( un ) bị chặn dưới ; không bị chặn trên .
C.Dãy số ( un ) không bị chặn .
D. Dãy số ( un ) bị chặn .

Hướng dẫn giải:

Công thức un được viết lại:

Với mọi n ∈ N * ta có : 2 n2 + 4 > 0

=> (un) bị chặn trên bởi

+ Lại có : với mọi n ∈ N * thì : n2 + 1 > 0 và 2 n2 + 4 > 0

=> ( un ) bị chặn dưới bởi 0 .
Vậy dãy số ( un ) là bị chặn
Chọn D .

Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi
. Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng .
B. Dãy số bị chặn trên .
C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên .
D.Dãy số bị chặn .

Hướng dẫn giải:

* Ta viết lại:

Xét hiệu số :

Vậy dãy số ( un ) là dãy số tăng .
* Ta có :

Suy ra ( un ) là một dãy số bị chặn .
Kết luận ( un ) là một dãy số tăng và bị chặn .
Chọn C .

Ví dụ 8: Cho dãy số (un) được xác định bởi un = n2 − 4n + 3. Tìm mệnh đề sai.

A. Công thức truy hồi của dãy số là :

B. Dãy số bị chặn dưới .

C. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số là

D. Dãy số bị chặn trên .

Hướng dẫn giải:

* Ta có : u1 = 12 − 4.1 + 3 = 0

Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

* Ta có : un = n2 − 4 n + 4 − 1 = ( n − 2 ) 2 − 1 ≥ 1 với ∀ n ≥ 1
Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên .
* Ta có :



Chọn D .

Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định bởi
. Tìm mệnh đề đúng nhất ?

A. Dãy số bị chặn trên ; không bị chặn dưới .
B. Dãy số bị chặn dưới ; không bị chặn trên .
C. Dãy số không bị chặn .
D. Dãy số bị chặn .

Hướng dẫn giải:

+ Rõ ràng un > 0 với mọi n nên ( un ) bị chặn dưới bởi 0 .

+ Lại có:

Suy ra:

=> ( un ) bị chặn trên .
Kết luận ( un ) bị chặn .
Chọn D .

Ví dụ 10: Cho dãy số (un) xác định bởi
. Chọn mệnh đề đúng ?

A. Dãy số bị chặn .
B. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới .
C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên .
D. Dãy số không bị chặn .

Hướng dẫn giải:

* Rõ ràng un > 0 với ∀ n ∈ N * nên ( un ) bị chặn dưới bởi 0 .

* Có
. Do đó:

với mọi n.

=> ( un ) bị chặn trên bởi 2 .
Kết luận ( un ) bị chặn .
Chọn A .

Ví dụ 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:

* Với mọi n ∈ N * ; ta có un > 0. Xét tỉ số

=> un + 1 < un nên dãy ( un ) là dãy số giảm . * Vì dãy số ( un ) là dãy số giảm nên un ≤ u1 = 2 ∀ n Suy ra : 0 < un ≤ 2 ∀ n ∈ N * => dãy ( un ) là dãy bị chặn .
Chọn D .

Ví dụ 12: Cho dãy số
. Xét dãy số yn = xn+1 − xn. Khẳng định nào đúng về dãy (yn)

A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên

Hướng dẫn giải:

Ta có :

Do đó:

Ta chứng tỏ dãy ( yn ) tăng .
Ta có :

Ta chứng minh dãy (yn) bị chặn.

Trước hết ta chứng tỏ : xn ≤ 4 ( n − 1 ) ( 1 ) với n ≥ 2
* Với n = 2, ta có : x2 = 4×1 = 4 nên ( 1 ) đúng với n = 2 .
* Giả sử ( 1 ) đúng với n = k, tức là : xk ≤ 4 ( k − 1 ). Ta chứng tỏ đúng với n = k + 1

Nên ( 1 ) đúng với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra ( 1 ) đúng

Ta có:

Vậy bài toán được chứng tỏ .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Xét tính bị chặn của dãy số (un): un = 4 − 3n − n2

A. Bị chặn B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có

=> dãy số ( un ) bị chặn trên ; dãy ( un ) không bị chặn dưới .

Câu 2: Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết

A. Bị chặn B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

+ Với mọi n ∈ N * ta có 2 n > 0 và n2 − n + 1 > 0

nên un > 1 (1)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được : n2 + 1 ≥ 2 n

=> n2 − n + 1 ≥ n nên

=> un ≤ 3 ( 2 ) .
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra dãy số ( un ) là bị chặn .

Câu 3: Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết

A. Bị chặn B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

* Với mọi n nguyên dương ta có:

* Lại có:
với mọi n ∈ N*

Vậy 0 < un ≤ 2 nên dãy số ( un ) là dãy số bị chặn .

Câu 4: Cho dãy số (un) xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị chặn trên. B. Dãy số bị chặn dưới .
C. Dãy số bị chặn. D. Dãy số không bị chặn .
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

* Với mọi n ∈ N * ta có : un > 0
=> ( un ) bị chặn dưới bởi 0 .

Lại có:

Suy ra

=> (un) bị chặn trên bởi

Kết luận ( un ) bị chặn .

Câu 5: Cho dãy số (un) xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề sai?

A. Dãy số bị chặn
B. Dãy số bị chặn trên ; không bị chặn dưới .
C. Dãy số bị chặn dưới ; không bị chặn trên .
D. Dãy số không bị chặn .
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

+ Với mọi n ∈ N * ta có un > 0 nên dãy số bị chặn dưới bởi 0 .

+ Lại có:

Suy ra :

Nên ( un ) bị chặn trên .
Kết luận ( un ) bị chặn .

Câu 5: Cho dãy số (un) xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề sai?

A. Với mọi n ∈ N * ; un < 15 B. Dãy số ( un ) là dãy số tăng . C. Dãy số ( un ) bị chặn dưới . D. Dãy số ( un ) bị chặn . Hiển thị đáp án

Đáp án: D

* Ta dùng quy nạp chứng tỏ : với mọi n ∈ N * ; un < 15 Ta có u1 = 1 < 15 nên đúng với n = 1 . Giả sử đúng với n = k ; k ∈ N * tức là có : uk < 15 .

khi đó

Vậy un < 15 với ∀ n ∈ N *. ( 1 )

* Ta có
(do (1))

=> dãy số ( un ) tăng
=> un ≥ u1 = 1 nên ( un ) bị chặn dưới bởi 1 .

Câu 6: Cho dãy số (un) xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới .
B. Dãy số bị chặm dưới nhưng không bị chặn trên .
C. Dãy số bị chặn .
D. Dãy số không bị chặn .
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

* Với k = 2,3 … n ta có

Do đó :

Vế cộng vế suy ra :

=> ( un ) bị chặn trên bởi 2 .
* Mặt khác ; với ∀ n ∈ N * ta có : un > 0
=> ( un ) bị chặn dưới bởi 0 .
=> ( un ) bị chặn .

Câu 7: Cho dãy số (un) xác đinh bởi
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau .

A. Dãy số ( un ) bị chặn .
B.Dãy số ( un ) không bị chặn .
C. Dãy số ( un ) bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới .
D. Dãy số ( un ) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên .
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

*Với mọi n∈ N* ta có:
nên (un) bị chặn dưới bởi 0.

* Lại có :

Mà :

Suy ra : un < 3 với mọi n nên dãy số ( un ) bị chặn trên bởi 3 . Kết luận : dãy số ( un ) bị chặn .

Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

* Ta có:
với mọi n ≥ 1.

Suy ra un + 1 > un ∀ n ≥ 1 ⇔ dãy ( un ) là dãy tăng .

* Mặt khác:

Với n ≥ 1 ; thì

Lại có với n ≥ 1 thì

Suy ra:

Vậy dãy ( un ) là dãy bị chặn .

Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Hiển thị đáp án

Đáp án: B

* Ta có :

=> un + 1 > un ∀ n > 1 => dãy ( un ) là dãy số tăng .
* Lại có :

dãy (un) bị chặn dưới.

Câu 10: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

+ Với mọi n ∈ N * ta có : un > 0. Xét tỉ số :

=> un + 1 < un với mọi n . => Dãy số ( un ) là dãy số giảm .
+ Mặt khác : √ ( 1 + n + n2 ) > 1 với ∀ n ∈ N *

Vậy 0 < un < 1 nên dãy ( un ) là dãy bị chặn .

Câu 11: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hiển thị đáp án

Đáp án: B

* Trước hết bằng quy nạp ta chứng tỏ : 1 < un ≤ 2 Điều này đúng với n = 1 . Giả sử đúng với n = k + 1 tức là : 1 < uk ≤ 2. Ta chứng tỏ đúng với n = k + 1 .

Thật vậy ta có:

nên ta có đpcm.

Mà

Vậy dãy ( un ) là dãy giảm và bị chặn .

Câu 12: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

* Trước hết ta chứng tỏ 1 < un < 4 Điều này hiển nhiên đúng với n = 1 . Giả sử đúng với n = k tức là : 1 < uk < 4. Ta chứng tỏ đúng với n = k + 1 Thật vậy : 1 < uk + 1 = uk + √ ( uk-1 ) < √ 4 + √ 4 = 4 Vậy dãy ( un ) là bị chặn . * Ta chứng tỏ ( un ) là dãy tăng Ta có : u1 < u2, giả sử un + 1 < un, ∀ n ≥ k .

Khi đó:

=> dãy ( un ) là dãy tăng .
Vậy dãy ( un ) là dãy tăng và bị chặn .
Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Thông tin cần biết