Định lý Vi – et được giới thiệu, cung cấp đến học sinh từ chương trình học toán lớp 9. Nó bao gồm định lý thuận và định lý đảo. Định lý cho ta mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệ sống của phương trình đó.

1. Định lý Viet

Định lý Viet là gì?

Định lý Viet là công thức Toán học biểu lộ mối quan hệ giữa những nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và những thông số do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra. Viète được phiên âm theo tiếng Việt là Vi-ét .

Qua nhiều năm đi dạy, Gia sư môn Toán chúng tôi thấy được rằng Định lý Vi-et học ở chương trình đại số ở cấp 2 và cấp 3 có nội dung kiến thức quan trọng đối với học sinh.

1. 2. Định lý Vi – et bậc 2

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ), có hai nghiệm x1 ; x2 thì tổng và tích của chúng là x1 + x2 = – b / a ; x1. x2 = c / a. Ngược lại, nếu có hai số x1 ; x2 ; thỏa mãn nhu cầu
x1 + x2 = S và x1. x2 = P.
thì x1 ; x2 là nghiệm của phương trình t2 – St + P = 0
Trong đó :
– Với x là ẩn số ; x1, x2 là nghiệm của phương trình
– a, b, c là những số đã biết sao cho a khác 0, a, b, c là những thông số của phương trình và hoàn toàn có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với thông số của x .
– a là thông số bậc hai
– b là thông số bậc một
– c là hằng số hay số hạng tự do

2. 3. Ứng dụng của định lý Vi – et bậc 2

– Dạng 1 : Biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm
Trong khi làm bài tập dạng này, học viên cần quan tâm sự sống sót nghiệm của phương trình, sau đó màn biểu diễn những biểu thức qua x1 + x2 và x1. x2 để hoàn toàn có thể sử dụng định lý Vi – et. Các hằng đẳng thức thường dùng là :
a2 + b2 = ( a + b ) 2 – 2 ab
a3 + b3 = ( a + b ) 3 – 3 ab ( a + b )
– Dạng 2 : Hệ đối xứng hai ẩn kiểu 1 là hệ gồm hai phương trình hai ẩn. Trong đó, nếu ta hoán đổi vai trò những ẩn trong từng phương trình thì mỗi phương trình đều không biến hóa. Để giải hệ đối xứng kiểu 1 bằng cách sử dụng định lý Vi – et, ta thường trình diễn những phương trình qua tổng và tích của hai ẩn đó. Các hằng đẳng thức hay dùng là :
a2 + b2 = ( a + b ) 2 – 2 ab
a3 + b3 = ( a + b ) 3 – 3 ab ( a + b )
( a2 ) 2 + ( b2 ) 2 = ( a2 + b2 ) 2 – 2 a2b2
– Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức
Định lý Vi – ét vẫn hoàn toàn có thể sử dụng để chứng tỏ bất đẳng thức. Tất nhiên, ở đây ta hiểu là dùng nó để đổi khác trung gian. Để hoàn toàn có thể sử dụng định lý Vi – ét, thường thì những dữ kiện của bài toán thường đưa về được dưới dạng tổng và tích những ẩn. Qúa trình chứng tỏ ta hoàn toàn có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, bất đẳng thức cổ xưa, những phép biến hóa tương tự .
– Dạng 4 : Ứng dụng vào bài toán tính cực trị của hàm số
Đây là dạng bài tập thông dụng trong những đề thi Đại học những năm gần đây, Điều quan trọng ở trong dạng bài tập này là làm thế nào học viên màn biểu diễn được tọa độ điểm cực trị một cách gọn gang và nhanh gọn nhất .
– Dạng 5 : Ứng dụng vào bài toán tiếp tuyến

Bài tập về tiếp tuyến thường liên quan tới các điều kiện tiếp xúc của đường cong và đường thẳng. Cần làm cho học sinh thấy rõ tọa độ điểm tiếp xúc thường là nghiệm của một phương trình nào đó mà ta có thể đưa về bậc hai để sử dụng định lý Vi –ét. Các kỹ thuật về nhẩm nghiệm cần được sử dụng tốt ở dạng bài tập này.

– Dạng 6 : Tương giao của 2 đồ thị và tập hợp điểm
Đây cũng là dạng bài tập hay gặp trong những kỳ thi tuyển sinh. Khi gặp dạng bài tập này, học viên cần viết phương trình hoành độ giao điểm. Từ phương trình đó, học viên sử dụng định lý Vi – ét để trình diễn những biểu thức đề bài nhu yếu qua thông số của phương trình. Cuối cùng là nhìn nhận biểu thức đó trải qua thông số vừa thay vào .
– Dạng 7 : Ứng dụng của 1 hệ thức truy hồi
Việc ứng dụng hệ thức truy hồi tuyến tính giúp học viên hoàn toàn có thể vận dụng xử lý được rất nhiều những dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Từ đơn thuần đến phức tạp .
– Dạng 8 : So sánh nghiệm của tam thức bâc 2 với 1 số
Bài toán định lý hòn đảo về dấu của tam thức bậc hai và bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số ít thức bất kể không còn được trình diễn trong chương trình học chính khóa mà nó đã được giảm tải theo lao lý của chương trình mới. Tuy nhiên, quy trình giảng dạy và làm vài tập, nếu học viên biết sử dụng định lý hòn đảo và bài toán so sánh nghiệm thì giải thuật sẽ ngắn gọn hơn rất nhiều .
Định lý hòn đảo : Cho tam thức bậc hai : f ( x ) = ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ). Nếu có số thực α sao cho af ( α ) 1 ; x2 và
x1 < α < x2

3. 4. Định lý Vi – ét bậc 3

– Nếu phương trình bậc ba : ax3 + bx2 + cx + d = 0 ( a khác 0 ) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì
x1 + x2 + x3 = – b / a
x1x2 + x2x3 + x3x1 = c / a
x1x2x3 = – d / a
– Trong đó :
+ Với x là ẩn số, x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình
+ a, b, c, d là những số đã biết sao cho a khác 0 ; a, b, c, d là những thông số của phương trình và hoàn toàn có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với thông số của x .
+ a là thông số bậc ba
+ b là thông số bậc hai
+ c là thông số bậc một
+ d là hằng số hay số hạng tự do

Xem thêm

– Định lý Talet

– Công thức tính diện tích tam giác thường, vuông, cân

– Công thức tính chu vi và diện tích quy hoạnh hình chữ nhật
– Tính chất và tín hiệu phân biệt hình thoi, hình bình hành, hình vuông vắn, hình chữ nhật

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập