Phương pháp nào để giải phương trình mũ và logarit nhanh và đúng mực luôn là yếu tố chăm sóc của những bạn học viên trung học phổ thông ? Ở trong bài viết này, VUIHOC sẽ tổng hợp lại những phần kỹ năng và kiến thức về phương trình mũ logarit quan trọng cùng với những cách giải phương trình mũ và logarit hay sử dụng nhất .

Đầu tiên, các em cùng VUIHOC đọc bảng dưới đây để có nhận định tổng quan về lý thuyết và các bài tập áp dụng giải phương trình mũ và logarit nhé!

722a_t-e1-bb-95ng-quan-v-e1-bb-81-gi-e1-ba-a3i-ph-c6-b0-c6-a1ng-trinh-m-c5-a9-va-logarit-3496444

 

Để tiện hơn cho ôn tập, những em tải file tổng hợp lý thuyết chung về phương trình mũ logarit và cách giải phương trình mũ và logarit dưới đây nhé !
Tải xuống file tổng hợp lý thuyết phương trình mũ và logarit

nội dung

1. Ôn tập lý thuyết chung về phương trình mũ và logarit

1.1. Lý thuyết phương trình mũ

Về định nghĩa :
Hiểu đơn thuần, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ .
Theo định nghĩa đã được học trong chương trình trung học phổ thông, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của phương trình mũ như sau :

Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với $a,b$ cho trước và $0
Phương trình mũ có nghiệm khi :

  • Với USD b > 0 USD : USD a ^ x = b Rightarrow x = log_ab USD
  • Với USD b leq 0 USD : phương trình mũ vô nghiệm

Các công thức phương trình mũ cơ bản cần nhớ :
Để giải phương trình mũ, những em cần ghi nhớ những công thức cơ bản của số mũ Giao hàng vận dụng trong những bước đổi khác. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau :

công thức biến đổi mũ cơ bản giải phương trình mũ và logarit

Ngoài ra, những đặc thù của số mũ cũng là một phần kỹ năng và kiến thức cần nhớ để giải phương trình mũ. Tổng hợp đặc thù của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây :

tổng hợp tính chất của số mũ giải phương trình mũ và logarit

Các em cần quan tâm, những đặc thù trên vận dụng khi số mũ đó đã xác lập nhé !

1.2. Lý thuyết phương trình logarit giải phương trình mũ logarit

Về định nghĩa :
Với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản USD log_ax = b USD

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là mathbb { R }. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta thuận tiện suy ra nghiệm đó là USD x = a ^ b USD

Với điều kiện 0

phương trình logarit cơ bản

Hai quy tắc tính logarit quan trọng dùng để đổi khác phương trình logarit mà những em cần ghi nhớ :

  • Quy tắc logarit của 1 tích :

– Công thức logarit của một tích như sau : USD log ( ab ) = log ( a ) + log ( b ) USD .
– Điều kiện : USD a, b USD đều là số dương
– Đây là logarit hai số a và b thực thi theo phép nhân trải qua phép cộng logarit sinh ra vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số USD a = 10 $ là logarit thập phân sẽ thuận tiện tra bảng, đo lường và thống kê hơn. Logarit tự nhiên với hằng số USD e USD là cơ số ( khoảng chừng bằng 2,718 ) được vận dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính .
– Nếu muốn thu nhỏ khoanh vùng phạm vi những đại lượng, bạn dùng thang logarit .

  • Quy tắc logarit của 1 luỹ thừa :

– Ta có công thức logarit như sau : USD log_ { alpha } ab = log_ { alpha } a + log_ { alpha } b USD

– Điều kiện với mọi số α và  $00$ .

Đối với phương trình logarit giải phương trình mũ logarit, tất cả chúng ta cần quan tâm thêm những công thức dưới đây :

công thức phương trình logarit

2. Các dạng bài tập giải phương trình mũ và logarit

2.1. Phương pháp giải phương trình mũ

Dạng 1: Dạng toán đưa về cùng cơ số

Ở chiêu thức giải phương trình mũ này, ta cần đổi khác theo công thức sau để đưa về cùng cơ số :
Với USD a > 0 $ và a ≠ 1 ta có $ a ^ { f ( x ) } = a ^ { g ( x ) } Rightarrow f ( x ) = g ( x ) USD

Ta cùng xét ví dụ sau đây để hiểu rõ cách giải phương trình mũ đưa về cùng cơ số này :

ví dụ giải phương trình mũ và logarit

Dạng 2: Dạng toán đặt ẩn phụ giải phương trình mũ logarit

Đây là giải pháp giải phương trình mũ và logarit thường gặp trong những đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ bắt đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách giải phương trình mũ này, ta cần thực thi theo những bước sau :

  • Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộc

  • Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ

  • Bước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện

  • Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình mũ cơ bản

  • Bước 5: Kết luận

Các phép ẩn phụ giải phương trình mũ và logarit thường gặp như sau :

Dạng 1: Các số hạn trong phương trình mũ có thể biểu diễn qua $a^{f(x)}$ nên ta đặt $t=a^{f(x)}$

Lưu ý trong loại này ta còn gặp 1 số ít bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là những bài toán đặt ẩn phụ không trọn vẹn .

Dạng 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc n đối với $a^{nf(x)}$ và $b^{nf(x)}$

Với dạng này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho $ a ^ { nf ( x ) } $ hoặc USD b ^ { nf ( x ) } $ với n là số tự nhiên lớn nhất có trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1 .

Dạng 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

  • Loại 1 : USD A.a ^ { f ( x ) } + B.b ^ { f ( x ) } + C = 0 $ với USD a. b = 1 USD

=> Đặt ẩn phụ $ t = a ^ { f ( x ) } Rightarrow bf ( x ) = frac { 1 } { t } $

  • Loại 2 : USD A.a ^ { f ( x ) } + B.b ^ { f ( x ) } + C = 0 $ với USD a. b = c ^ 2 USD

=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho USD c ^ { f ( x ) } $ và đưa về dạng 1 .

Ta cùng xét những ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách đặt ẩn phụ giải phương trình mũ và logarit nhé !

Ví dụ giải phương trình mũ và logaritVí dụ giải phương trình mũ và logarit

Dạng 3: Logarit hoá

Trong một số ít trường hợp, tất cả chúng ta không hề giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc dùng ẩn phụ được. Khi đó, những em cần lấy logarit 2 vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó để đưa về dạng phương trình mũ cơ bản. Phương pháp giải phương trình mũ và logarit này được gọi là logarit hoá .
Dấu hiệu phân biệt bài toán phương trình mũ vận dụng chiêu thức logarit hóa : Phương trình loại này thường có dạng $ a ^ { f ( x ) }. b ^ { g ( x ) }. c ^ { h ( x ) } = d USD ( tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau ). Khi đó, những em hoàn toàn có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a ( hoặc b, hoặc c ) .

Các công thức logarit hoá phương trình mũ như sau :

công thức logarit hoá giải phương trình mũ

Sau đây, những em cùng theo dõi ví dụ minh hoạ :

ví dụ minh hoạ giải phương trình mũ và logarit

ví dụ minh hoạ giải phương trình mũ và logarit

Xem thêm: este – Wiktionary

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình mũ

Để sử dụng tính đơn điệu vào trong cách giải phương trình mũ, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau :

  • Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x (0

  • Chiều biến thiên

    • USD a > 1 USD : Hàm số luôn đồng biến
    • $0

  • Tiệm cận : Trục hoành $ Ox $ là đường tiệm cận ngang
  • Đồ thị : Đi qua điểm USD ( 0 ; 1 ), ( 1 ; a ) USD và nằm phía trên trục hoành .

Để giải theo giải pháp giải phương trình mũ này, ta cần làm theo những bước sau đây :

Hướng 1 :

Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(x)=k$.

Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên $D$. Khẳng định hàm số đơn điệu

Bước 3. Nhận xét:

+ Với USD x = x_0 $ ⇔ $ f ( x ) = f ( x_0 ) = k USD do đó USD x = x_0 USD là nghiệm .
+ Với USD x > x_0 $ ⇔ $ f ( x ) > f ( x_0 ) = k USD do đó phương trình vô nghiệm .

+ Với $x

Bước 4. Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2 :

Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(x)=g(x)$.

Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$. Khẳng định hàm số $y=f(x)$ là hàm số đồng biến còn $y = g(x)$ là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

Bước 3. Xác định $x_0$ sao cho $f(x_0)=g(x_0)$ .

Bước 4. Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3 :

Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(u)=f(v)$.

Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$. Khẳng định hàm số đơn điệu.

Bước 3. Khi đó $f(u)=f(v)$ ⇔ $u=v$.

Ta xét những ví dụ sau giải phương trình mũ và logarit sử dụng tính đơn điệu :

ví dụ giải phương trình mũ và logarit

Dạng 5: Giải phương trình mũ có chứa tham số

Với phương trình có chứa tham số : USD f ( x ; m ) = g ( m ) USD, tất cả chúng ta thực thi những bước sau :

Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): $y=f(x;m)$ và đường thẳng (d): $y=g(m)$

Bước 2: Xét hàm số $y=f(x;m)$

  • Tìm miền xác lập D
  • Tính đạo hàm y ’ rồi giải phương trình y ’ = 0
  • Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3: Kết luận:

  • Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi minf ( x ; m ) nhỏ hơn hoặc bằng g ( m ) nhỏ hơn hoặc bằng $ maxf ( x ; m ) $ $ ( x in mathbb { R } ) USD
  • Phương trình có k nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( d ) cắt ( C ) tại K điểm phân biệt .
  • Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ( d ) giao ( C ) bằng rỗng

 

Ta cùng xét ví dụ giải phương trình mũ logarit sau đây :

ví dụ giải phương trình mũ logarit

ví dụ giải phương trình mũ logarit

 

2.2. Phương pháp giải phương trình logarit

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Một chú ý quan tâm nhỏ cho những em đó là trong quy trình biến hóa để tìm ra cách giải pt logarit, tất cả chúng ta thường quên việc trấn áp miền xác lập của phương trình. Vì vậy để cho bảo đảm an toàn thì ngoài phương trình logarit cơ bản, những bạn nên đặt điều kiện kèm theo xác lập cho phương trình trước khi đổi khác .
Phương pháp giải dạng toán này như sau :
Trường hợp 1 : $ log_af ( x ) = b Rightarrow f ( x ) = a ^ b USD .
Trường hợp 2 : $ log_af ( x ) = log_bg ( x ) Rightarrow f ( x ) = g ( x ) 4 .

Ta cùng xét ví dụ sau để rõ hơn về cách giải phương trình mũ logarit bằng cách đưa về cùng cơ số :

ví dụ giải phương trình mũ và logarit

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Ở cách giải phương trình mũ và logarit này, khi đặt ẩn phụ, tất cả chúng ta cần chú ý quan tâm xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện kèm theo cho ẩn phụ hoặc không. Ta có công thức tổng quát như sau :
Phương trình dạng : $ Q [ log_af ( x ) ] = 0 USD -> Đặt USD t = log_ax ( x in mathbb { R } ) USD

Các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây :

Ví dụ giải phương trình mũ và logarit

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hoá

Bản chất của việc giải phương trình logarit cơ bản ( ở trên ) cũng là mũ hóa 2 vế với cơ số a. Trong 1 số trường hợp, phương trình có cả loga có cả mũ thì ta hoàn toàn có thể thử vận dụng mũ hóa 2 vế để giải .

Phương trình $log_af(x)=log_bg(x) (0
Ta đặt $ log_af ( x ) = log_bg ( x ) = t USD => Hoặc $ f ( x ) = a ^ t USD hoặc USD g ( x ) = b ^ t USD
=> Đưa về dạng phương trình ẩn USD t USD .

Ví dụ giải phương trình mũ và logarit

Dạng 4: Dùng đồ thị giải phương trình logarit

Giải phương trình: $log_ax=f(x) (0

  • Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y=log_ax (0

  • Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị

Ta có ví dụ minh hoạ về chiêu thức giải phương trình logarit này như sau :

Ví dụ giải phương trình mũ và logarit

Ví dụ giải phương trình mũ và logarit

3. Bài tập áp dụng cách giải phương trình mũ và logarit

Để thành thạo phân biệt những dạng bài tập vận dụng cách giải phương trình mũ và logarit, VUIHOC gửi Tặng Ngay những em file bài tập luyện tập giải phương trình mũ và logarit có hướng dẫn giải cụ thể. Các em nhớ tải về theo link dưới đây nhé !
Tải xuống file bài tập giải phương trình mũ và logarit có đáp án

Để luyện tập thành thạo hơn các dạng bài giải phương trình mũ và logarit, thầy Thành Đức Trung có bài giảng về phương trình mũ và phương trình logarit cực hay, trong đó tổng hợp rất nhiều dạng bài thường gặp trong đề thi THPTQG kèm theo các tips giải siêu nhanh. Các em học sinh đừng bỏ qua nhé!

VUIHOC vừa cùng các em ôn tập lại lý thuyết phương trình mũ logarit kèm theo các dạng bài tập giải phương trình mũ và logarit điển hình. Chúc các em ôn tập tốt!

e232_15-12-banner-web-700x200-6-282-29-8107464

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *