Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Bài giảng: Tất tần tật về Mặt nón – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho hình nón ( H ) có nửa đường kính đường tròn đáy là R và độ dài đường sinh là l .

+ Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích số của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:
Sxq = πR.l

+ Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện đáy:
Stp = πR.l + πR2

+ Thể tích khối nón bằng một phần ba tích số diện tích quy hoạnh hình tròn trụ đáy và chiều cao :

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S; O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc
giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600.Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón lần lượt là?

Hướng dẫn giải:

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón .

Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là

= 600 .

Trong tam giác vuôn SAO, ta có :

Diện tích xung quanh hình nón là:

Sxq = πRl = π.
.a√2 = πR2

Thể tích của khối nón tròn xoay

(đvtt)

Chọn A

Quảng cáo

Ví dụ 2. Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3 , góc ở đỉnh là 1200. Tính thể tích của khối nón đó theo a.

A.
   B. πa3
   C.
   D. 2πa3

Hướng dẫn giải:

Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy .Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có nửa đường kính là :

Do góc ở đỉnh là 1200 nên

Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có:
SO =

= a

Do đó chiều cao hình nón là h = SO = a .

Vậy thể tích khối nón là
V =
πr2h =
π.3a2.a = πa3

Chọn B.

Ví dụ 3. Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa2.
Thể tích khối nón là:

A.
   B.
   C. 2πa3
   D. √2πa3

Hướng dẫn giải:

Ta có độ dài đường sinh là l = 2a .

Do diện tích quy hoạnh xung quanh là 2 πa2 nên :

Sxq = π.R.l = 2πa2 ⇒ R =

= a

Chiều cao của hình nón là:
h =

= √3a

Thể tích của khối nón là
V =
πR2h =
π.a2.√3 =

Chọn A .

Quảng cáo

Ví dụ 4. Cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 3a2. Diện tích xung quanh của (N) là:

A. 6 πa2 B. √ 2 πa2 C. 6 √ 2 πa2 D. 3 √ 2 πa2

Hướng dẫn giải:

Do cắt hình nón ( N ) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón nên thiết diện qua trục là mặt phẳng ( SAB ) – với AB là đường kính của đường tròn đáy .Theo giả thiết tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S và có diện tích quy hoạnh 3 a2 nên

SABC =
SA2 = 3a2 ⇒ SA = √6a

Khi đó, độ dài đường sinh của hình nón làl = SA = √ 6 a

Do tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S nên

AB = SA.√2 = √6a.√2 = 2√3a

Suy ra, đường cao của hình nón là :h = SO = AB / 2 = √ 3 aBán kính đường tròn đáy là R = AB / 2 = a √ 3 .Diện tích xung quanh của ( N ) là :Sxq = π. R.l = π. a √ 3. a. √ 6 = 3 √ 2 πa2Chọn D

Ví dụ 5. Cho hình tròn có bán kính bằng 6. Cắt bỏ 1/4 hình tròn giữa hai bán kính OA và OB, rồi ghép hai bán kính đó lại sao cho hình thành một hình nón ( hình vẽ ). Tính thể tích khối nón tương ứng

Hướng dẫn giải:

Diện tích hình tròn trụ có nửa đường kính bằng R = 6 là : Stron = πR2 = π62 = 36 πCắt bỏ 1/4 hình tròn trụ thì diện tích quy hoạnh còn lại chính là diện tích quy hoạnh xung quanh của nón. Đường sinh của nón là nửa đường kính đường tròn : l = R = 6

Diện tích xung quanh của nón là:
Sxq =
Stron =
.36π = 27π (1)

Lại có : Sxq = π. r. l = π. r. 6 ( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra: π.r.6 = 27π ⇒ r =

Khi đó, đường cao hình nón là :

Thể tích khối nón tương ứng là :

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

mat-non-mat-tru-mat-cau.jsp

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập