Công thức tính Tích có hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Công thức tính Tích có hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

1. Định nghĩa:

Trong không gian Oxyz cho hai vecto a→=(a1;a2;a3 ) và b→=(b1;b2;b3 ). Tích có hướng của hai vecto a→ và b→, kí hiệu là [a→, b→ ], được xác định bởi

Chú ý : Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số ít .

2. Tính chất

+ [a→, b→ ]⊥ a→ ; [a→, b→ ]⊥ b→

+ [a→, b→ ]=-[b→, a→ ]

+ [i→, j→ ]=k→ ; [ j→, k→ ]= i→ ; [k→, i→ ]= j→

+ |[ a→, b→ ]|=| a→ |.| b→ |.sin⁡( a→, b→ )

+ a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→ ]= 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

Quảng cáo

3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto :

    a→
, b→
và c→
đồng phẳng ⇔[ a→
, b→
]. c→
=0

+ Diện tích hình bình hành ABCD :

    SABCD=|[AB→
; AD→
]|

+ Diện tích tam giác ABC :

    SABC=1/2 |[AB→ ; AC→ ]|

+ Thể tích khối hộp ABCD.A ’ B’C ’ D ’ :

    VABCD.A’B’C’D’=|[AB→; AD→ ]. AA’→ |

+ Thể tích tứ diện ABCD

    VABCD=1/3 |[AB→
; AC→
]. AD→
|

Ví dụ minh họa

Quảng cáo

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).

a ) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện .
b ) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Hướng dẫn:

AB→
=(-2;1;1); AC→
=(-2;1; -1); AD→
=(1; -1; -3)

⇒[AB→
, AC→
]=(-2;-4;0) ⇒[ AB→
, AC→
]. AD→
=2≠0

⇒AB→
, AC→
, AD→
không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện .

b) VABCD=1/6 |[AB→
, AC→
]. AD→
|=2/6=1/3

Ta có: BC→
=(0;0; -2), BD→
=(3; -2; -4)

⇒[ BC→
, BD→
]=(-4; -6;0)⇒SBCD=1/2 |[BC→
, BD→
]|=√13

VABCD = 1/3 d ( A ; ( BCD ) ). SBCD

⇒d(A;(BCD))

Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau.

Hướng dẫn:

+ Ta có: AB→
=(3; -5; -8); AC→
=(5; -6; -11);

AD→
=(7; -8; -15), CD→
=(2; -2; -4)

⇒[ AB→
, AC→
]=(7;-7;7) ⇒[ AB→
,(AC) ⃗ ].(AD) ⃗=0

⇒ AB→
, AC→
, AD→
đồng phẳng.

⇒ A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng ( 1 )

+ [AB→
, CD→
]=(4; -4;4) ≠0→
⇔ AB→
, CD→
không cùng phương (2)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra AB và CD cắt nhau .

Bài 3: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH)

Hướng dẫn:

+ AB→=(1;0;1), AD→=(2;0;1), AE→=(-2;1; -3)

⇒[ AB→, AD→ ]=(0;1;0)⇒[ AB→, AD→ ]. AE→=1

⇒VABCD.EFGH=|[ AB→, AD→ ]. AE→ |=1

+ SAEFB=|[ AB→, AE→ ]|=√3

⇒ SDCGH = SAEFB = √ 3
VABCD.EFGH = d ( A ; ( DCGH ) ). SDCGH

⇒d(A;(DCGH))

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:

   A. (3√5)/2   B. 3√5

   C. 4√5   D. 5/2

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

AB→
=(3; -2;1); AC→
=(1;0;2)⇒[AB→
, AC→
]=(-4; -5;2)

SABC=1/2 |[AB→
, AC→
]|=(3√5)/2

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;-1). Thể tích của tứ diện ABCD là:

   A. 1   B. 2

   C. 1/3   D. 1/2

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

AB→ =(-1; 1;0); AC→=(-1;0;1); AD→=(-3;1; -1)

⇒[AB→, AC→ ]=(1;1;1)⇒ AD→. [AB→, AC→ ]=-3

VABCD=1/6 |AD→. [AB→, AC→ ]|=1/2

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

   A. √5   B. √3

   C. 4√2   D. 2√5

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(-5; 0;-10); AC→=(3;0;-6); BC→=(8;0;4)

AB = 5 √ 5 ; AC = 3 √ 5 ; BC = 4 √ 5

SABC=1/2 |[ AB→, AC→ ]|=30

Gọi r là nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác
Ta có :
S = pr

⇒r=√5

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Thể tích tứ diện ABCD là:

   A. 3   B. 4

   C. 9   D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→=(3; 6;3); AC→=(1;3;-2); AD→=(2;-2; 2)

⇒[ AB→, AC→ ]=(-21;9;3)⇒ AD→. [AB→, AC→ ]=-54

VABCD=1/6 |AD→. [AB→, AC→ ]|=9

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

   A.

   B.

   C.

   D.

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là:

   A. (2√30)/5   B. (√30)/5

   C. (√10)/5   D. (√6)/2

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

AB→=(-1; 0;1); AC→=(1;1;1)⇒[AB→, AC→ ]=(-1;2;-1)

SABC=1/2 |[ AB→, AC→ ]|=√6/2

BC=| BC→ |=√5

SABC = 1/2 h. BC ⇒ h = ( 2S ) / BC = √ ( 30 ) / 5

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OAMN với S(0;0;1), A(1;1;0), M(m;0;0), N(0;n;0). Trong đó m>0, n>0 và m+n=6. Thể tích hình chóp S.OAMN là:

   A. 1   B. 2

   C. 4   D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

OA→=(1;1;0), OM→=(m;0;0), ON→=(0;n;0), OS→=(0;0;1)

[ OA→, OM→ ]=(0;0; -m)⇒ OS→. [ OA→, OM→ ]=(0;0; -m)

⇒VS.OAM=1/6 |OS→. [OA→, OM→ ]|=m/6

[OA→, ON→ ]=(0;0; m)⇒ OS→. [OA→, OM→ ]=(0;0; n)

⇒VS.OAN=1/6 |OS→. [OA→, ON→ ]|=n/6

Ta có :
VS.OAMN = m / 6 + n / 6 = ( m + n ) / 6 = 1

Bài 8: Cho A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

   A. 3   B. 4

   C. 5   D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(2;5-;2); AC→=(-2;4;2); AD→=(2;5;1)

⇒[AB→, AC→ ]=(2; -8;18) ⇒ AD→. [AB→, AC→ ]=-18

VABCD=1/6 |AD→. [AB→, AC→ ]|=3

Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là:

   A. 5   B. 6

   C. 7   D. 9

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Áp dụng công thức :

tính được : h = 9

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 0; 0); B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

   A. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

   B. Tam giác ABD là tam giác đều.

   C. AB⊥CD

   D. Tam giác BCD là tam giác vuông.

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0), B(x0;y0;0) với x0>0, y0>0 sao cho OB=8 và góc AOBˆ=600. Gọi C(0;0;c) với c>0. Để thể tích tứ diện OABC bằng 16√3 thì giá trị thích hợp của c là:

   A. 6   B. 3

   C. √3   D. 6√3

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

OA→=(4;0;0), OB→=(x0;y0;0); OC→=(0;0;c)

OB = √ ( x02 + y02 ) = 8 ⇒ y0 = 4 √ 3

OA→=(4;0;0); OB→=(4;4√3;0) ⇒[ OA→, OB→ ]=(0;0;16√3)

⇒ OC→[ OA→, OB→ ]=16c√3

VABCD=1/6 |OC→ [ OA→, OB→]|=1/6.16c√3=16√3 ⇒c=6

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng:

   A. 30   B. 40

   C. 50   D. 60

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

VABCD=1/6 |AD→
. [ AB→
, AC→
]|=30

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) điểm D thuộc Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

D thuộc Oy ⇒ D ( 0 ; y ; 0 )

AB→=(1;-1;2); AC→=(0;-2;4); AD→=(-2;y-1;1)

⇒ [AB→, AC→ ]=(0; -4;-2) ⇒ AD→. [AB→, AC→ ]=2-4y

VABCD=1/6 |AD→. [ AB→, AC→ ]|=|2-4y|/6=5

⇒ |2-4y|=30

Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0;0;2), B(3;0;5), C(1;1;0), D(4;1;2). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống (ABC) là:

   A. √(11)   B. √(11)/11

   C. 1   D. 11

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có AB→(3;0;3), AC→(1;1;-2), và AD→(4;1;0).

Dễ thấy [AB→, AC→]=(-3;9;3),

nên SABC=1/2|[AB→, AC→]|

Vậy chiều cao hạ từ đỉnh D của tứ diện là

Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0; 2; -2); B(-3; 1; -1);

C ( 4 ; 3 ; 0 ), D ( 1 ; 2 ; m ). Tìm m để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng .
Một học viên giải như sau :

   Bước 1: AB→=(-3;-1;1), AC→=(4;1;2), AD→= (1;0;m+2)

   Bước 2: [AB→, AC→]=(-3;10;1)

    [AB→
, AC→
]. AD→= 3+m+2 = m+5

   Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng⇔[AB→, AC→]. AD→= 3+m+2 = m+5 = 0 ⇔ m= -5.

Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ?

   A. Đúng.   B. Sai từ bước 1.

   C. Sai từ bước 2.   D. Sai từ bước 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Bước 2 sai. Phép tính đúng ở đây phải là [AB→, AC→]. AD→ = -3+m +2= m -1.

Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:

   A. √(26)   B. √(26)/2

   C. √(26)/3   D. 26

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→(-1;2;2), AC→(1;1;-1). Độ dài đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là:

d(C, AB)

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD biết A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD, SH⊥(ABCD). Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27/2(đvtt) thì có hai điểm S1, S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2

   A. (0; 1; 5)    B. (1; 0; 5)

   C. (0; -1; -5)    D. (-1; 0; -5)

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có: AB→=(-1;-1;2); AC→=(1; -2;1) ⇒ [AB→; AC→ ]=(3;3;3)

⇒SABC=1/2 |[AB→ ; AC→ ]|=(3√3)/2

DC→=(-2; -2;4); AB→=(-1;-1;2) ⇒ DC→=2 AB→

⇒ ABCD là hình thang và SABCD = 3SABC = ( 9 √ 3 ) / 2
VABCD = 1/3 SH.SABCD = 27/2 ⇒ SH = 3 √ 3
Lại có H là trung điểm của CD ⇒ H ( 0 ; 1 ; 5 )

Gọi S (a; b; c) ⇒ SH→=(-a;1-b;5-c)

Do SH⊥(ABCD) nên SH→=k[ AB→ ; AC→]=(3k;3k;3k)

⇒3√3⇒k=±1

Với k = 1 ⇒ SH→=(3;3;3)⇒S(-3; -2;2)

Với k = -1 ⇒ SH→=(-3;-3;-3)⇒S(3; 4;8)

⇒ I ( 0 ; 1 ; 5 )

Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D là:

   A. 3   B. 1

   C. 2   D. 1/2

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:

   A. √(26)   B. √(26)/2

   C. √(26)/3   D. 26

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD=5 và có hai điểm D1(0;y1;0), D2(0;y2;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó y1+y2 bằng

   A. 1   B. 0

   C. 2   D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

D thuộc trục Oy ⇒ D ( 0 ; y ; 0 )

AB→=(1; -1;2), AC→=(0; -2;4), AD→=(-2;y-1;1)

⇒[ AB→; AC→ ]=(0; -4; -2)⇒[AB→ ; AC→ ]. AD→=-4y+2

VABCD=1/6 |[ AB→ ; AC→ ]. AD→ |=1/6 |-4y+2|=5 ⇒y=-7;y=8

⇒ D ( 0 ; – 7 ; 8 ) và D ( 0 ; 8 ; 0 )

⇒ y1+y2= 1

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập