Cách tìm cực trị của hàm số cực hay

Cách tìm cực trị của hàm số cực hay

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Quảng cáo

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 – h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K = ( x0 – h ; x0 + h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên K { x0 }, với h > 0 .
Nếu f ‘ ( x ) > 0 trên khoảng chừng ( x0 – h ; x0 ) và f ‘ ( x ) < 0 trên ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm cực lớn của hàm số f ( x ) . Nếu f ' ( x ) < 0 trên khoảng chừng ( x0 - h ; x0 ) và f ' ( x ) > 0 trên ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) .
Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

   Bước 3. Lập bảng biến thiên.

   Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,…)là các nghiệm của nó.

   Bước 3. Tính f”(x) và f”(xi ) .

   Bước 4. Dựa vào dấu của f”(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Quảng cáo

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2×3 – 6x + 2.

Hướng dẫn

Tập xác lập D = R .
Tính y ‘ = 6×2 – 6. Cho y ‘ = 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 ⇔ x = ± 1 .
Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực lớn tại x = – 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y = – 2 .

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 – 2×2 + 2.

Hướng dẫn

Tập xác lập D = R .

Tính y’ = 4×3 – 4x. Cho y’= 0 ⇔ 4×3 – 4x = 0 ⇔.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1, y = 1 và hàm số đạt cực lớn tại x = 0, y = 2 .

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y =

Hướng dẫn

Tập xác định D = R{2}. Tính

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho không có cực trị .

B. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3×2 – 4

Hiển thị đáp án
Tập xác lập D = R .
Tính y ‘ = – 3×2 + 6 x .

Cho y’= 0⇔-3×2 + 6x = 0⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0.

Quảng cáo

Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3×3 – 3x + 2

Hiển thị đáp án
Tập xác lập D = R .
Tính y ‘ = – 3×2 + 6 x – 3 .
Cho y ‘ = 0 ⇔ – 3×2 + 6 x – 3 = 0 ⇔ x = 1 .
Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho không có cực trị .

Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2×3 – 3×2 – 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.

Hiển thị đáp án
Tập xác lập D = R .
Tính y ‘ = 6×2 – 6 x – 12 .

Cho y’= 0 ⇔

Bảng biến thiên

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A ( – 1 ; 8 ), B ( 2 ; – 19 ) .
Vậy phương trình đường thẳng AB là 9 x + y + 1 = 0 .

Bài 4. Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị (C). Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C)và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.

Hiển thị đáp án
Tập xác lập D = R .
Tính y ‘ = 3×2 – 6 x .

Cho y’= 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8),B(2;-19). Khi đó AB =

Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x4/4 – x2 + 2

Hiển thị đáp án
Tập xác lập D = R .
Tính y ‘ = 2×3 – 2 x .

Cho y’= 0 ⇔ 4×3 – 4x = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1, y = 3/2 và hàm số đạt cực lớn tại x = 0, y = 2 .

Bài 6. Tìm cực trị của hàm số y = -x4 + 4×2 – 5

Hiển thị đáp án
Tập xác lập D = R .
Tính y ‘ = – 4×3 + 8 x .

Cho y’= 0 ⇔ -4×3 + 8x = 0⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y = – 5 và hàm số đạt cực lớn tại x = ± √ 2, y = – 1 .

Bài 7. Tìm cực trị của hàm số y =

Hiển thị đáp án
Tập xác lập D = R { – 1 } .

Tính y’ =

Cho y’ = 0⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực lớn tại x = – 3, y = – 7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = 1 .

Bài 8. Tìm cực trị của hàm số y = x – 5 + 1/x

Hiển thị đáp án
Tập xác lập D = R { 0 } .

Tính

Cho y’ = 0⇔x2 – 1 = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực lớn tại x = – 1, y = – 7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = – 3 .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

cuc-tri-cua-ham-so.jsp

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Thông tin cần biết