Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = dfrac{{x – 1}}{{ – 3x + 2}}) là?

Nội dung chính

  • Lý thuyết đường tiệm cận
  • Các dạng bài tập về đường tiệm cận của hàm số
  • Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa
  • Dạng 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức
  • Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ
  • Dạng 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ
  • Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với A là số thực khác 0, g(x) xác định theo f(x)
  • Dạng 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với φ(x) là một biểu thức theo x, g(x) là biểu thức theo f(x)
  • Dạng 7: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức, với f(x) và g(x) là các đa thức
  • Dạng 8: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức
  • Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn
  • Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  • Dạng 11: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận
  • Dạng 12: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số
  • Tài liệu hay về đường tiệm cận
  • #1. Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số thường gặp trong kỳ thi THPTQG
  • #2. Tổng ôn tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  • #3. Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  • #4. Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  • #5. Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  • #6. Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số
  • #7. Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số
  • Video liên quan

Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận ?Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( y = 2 x – 1 + sqrt { 4 { x ^ 2 } – 4 } ) làSố đường tiệm cận của đồ thị hàm số USD y = dfrac { { x – 1 } } { { 2 – x } } $ là :

Đường tiệm cận là một kiến thức quan trọng trong hình học giải tích thuộc chương trình toán lớp 12. Bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu cơ bản về lý thuyết đường tiệm cận và các bài tập từ nhận biết thông hiểu đến vận dụng cao trong các đề thi.

nội dung

Lý thuyết đường tiệm cận

Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang ) của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếuĐường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận đứng ) của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu tối thiểu một trong những điều kiện kèm theo sau được thỏa mãn nhu cầu :

Các dạng bài tập về đường tiệm cận của hàm số

Để làm những bài tập về đường tiệm cận thì việc hiểu thực chất và những công thức đường tiệm cận là điều bắt buộc .

Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

Phương pháp giải

– Tiệm cận ngangĐường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu hoặc– Tiệm cận đứngĐường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu một trong những điều kiện kèm theo sau được thỏa mãn nhu cầu :

Bài tập

Bài tập 1: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

A. 2 ( đvdt )B. 3 ( đvdt )C. 1 ( đvdt )D. 4 ( đvdt )Hướng dẫn giảiChọn ATập xác lập D = ℝ { 1 }Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2. Khi đó hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có những kích cỡ là 1 và 2 nên có diện tích quy hoạnh S = 1 ․ 2 = 2 ( đvdt )

Bài tập 2: Biết các đường tiệm cận của đường cong (C): và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ( H ) là một hình chữ nhật có diện tích quy hoạnh bằng 8B. ( H ) là một hình vuông vắn có diện tích quy hoạnh bằng 4C. ( H ) là một hình vuông vắn có diện tích quy hoạnh bằng 25D. ( H ) là một hình chữ nhật có diện tích quy hoạnh bằng 10Hướng dẫn giảiChọn DTập xác lậpTa có ⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của ( C )⇒ y = 7 là tiệm cận ngang của ( C )⇒ x = 5 là tiệm cận đứng của ( C )Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y = 5 ; y = 7 ; x = 5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có size 2 × 5 nên có diện tích quy hoạnh bằng 10 .

Dạng 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức

Phương pháp giải

Cho hàm số :Để sống sót những đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0Khi đó phương trình những đường tiệm cận là+ Tiệm cận đứng+ Tiệm cận ngang

Bài tập

Bài tập 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 3 là

A. m = 1B. m = 0C. m = 2D. m = 3Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là– m ( 2 m – 1 ) – 1 ≠ 0 ⇔ 2 mét vuông – m + 1 ≠ 0 ⇒ ∀ x ∈ ℝPhương trình đường tiệm cận ngang là y = 2 m – 1 nên có 2 m – 1 = 3 ⇔ m = 2

Bài tập 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

A. ℝB. ℝ { 0 }C. ℝ { 1 }D. ℝ { 0 ; 1 }Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

Bài tập 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là

A. ℝB.C.D. { 0 }Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là

Bài tập 4: Cho hàm số. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(0; -1) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng

A. 1B. 0C. 3D. 2Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a – b ≠ 0Do đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 0 ; – 1 ) nên b = – 1Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a ⇒ a = 1 ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )Vậy a + b = 0

Bài tập 5: Biết rằng đồ thị của hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a + b bằng

A. 3B. – 3C. 6D. 0Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là – ( a – 3 ) ( b + 3 ) – ( a + 2019 ) ≠ 0Phương trình những đường tiệm cận là( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )Vậy a + b = 0

Bài tập 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) là

A. m = 4B. m = – 2C. m = – 4D. m = 2Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2Đường tiệm cận đứng là ( thỏa mãn nhu cầu )

Bài tập 7: Cho hàm số với tham số m ≠ 0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng nào dưới đây?

A. x + 2 y = 0B. 2 x + y = 0C. x – 2 y = 0D. y = 2 xHướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là – 2 mét vuông – 1 ≠ 0 ⇒ ∀ m ∈ ℝPhương trình những đường tiệm cận là x = 2 x ; y = m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I ( 2 m ; m ) thuộc đường thẳng x = 2 y

Bài tập 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung là

A. m > 0 vàB. m > 0C. m > 0 vàD. m < 0Hướng dẫn giảiChọn AĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là - 4 m + 5 ≠ 0 ⇔Phương trình đường tiệm cận đứng là x = mĐể tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m > 0Vậy điều kiện kèm theo cần tìm là

Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ

Phương pháp giải

– Tiệm cận của đồ thị hàm số với A là số thực khác 0 và f ( x ) là đa thức bậc n > 0– Đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0– Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi và chỉ khi x0 là nghiệm của f ( x ) hay f ( x0 ) = 0– Tiệm cận của đồ thị hàm số với f ( x ), g ( x ) là những đa thức bậc khác 0– Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là bậc f ( x ) ≤ bậc g ( x )– Điều kiện để đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x0 là nghiệm của g ( x ) nhưng không là nghiệm của f ( x ) hoặc x0 là nghiệm bội n của g ( x ), đồng thời là nghiệm bội m của f ( x ) và m < n

Bài tập

Bài tập 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

A. m = 8B. m = 0C. m ≠ 4D. m ≠ – 8Hướng dẫn giảiChọn DTập xác lậpĐặt g ( x ) = mx2 – 2 x + 1Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì không là nghiệm của g ( x )

Bài tập 2: Biết đồ thị hàm số (m, n là tham số) nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng, giá trị của m + n bằng

A. 6B. 10C. – 4D. – 7Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện : x2 – 2 mx + n + 6 ≠ 0Đặt g ( x ) = x2 – 2 mx + n + 6Do x = 1 là nghiệm của f ( x ) = x – 1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng thì x = 1 phải là nghiệm kép của phương trìnhVậy m + n = – 4

Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n bằng

A. 8B. 9C. 6D. – 6Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiện x2 + mx + n – 6 ≠ 0Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2 m – n ⇒ 2 m – n = 0 ( 1 )Đặt f ( x ) = ( 2 m – n ) x2 + mx + 1 và g ( x ) = x2 + mx + n – 6Nhận thấy f ( 0 ) ≠ 0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 là tiệm cận đứng thì g ( 0 ) = 0 ⇔ n – 6 = 0 ⇔ n = 6. Kết hợp với ( 1 ) suy ra m = 3 .Vậy m + n = 9

Bài tập 4: Cho hàm số có đồ thị (C) (a, b là các số thực dương và ab = 4). Biết rằng (C) có tiệm cận ngang y = c và có đúng một tiệm cận đứng. Giá trị của tổng T = 3a + b – 24c bằng

A. 8B. 9C. 6D. 11Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện 4×2 + bx + 9 ≠ 0Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số làĐồ thị ( C ) có một tiệm cận đứng nên ta có những trường hợp sau :

Trường hợp 1: Phương trình 4×2 + bx + 9 = 0 có nghiệm kép x = x0 và không là nghiệm của ax2 + bx + 1 = 0

⇔ b2 – 144 = 0 ⇔ b = ± 12Vì b > 0 nên b = 12Thử lại ta có hàm số ( thỏa mãn nhu cầu )VậyTrường hợp 2 : 4×2 + bx + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn nhu cầu ax2 + bx – 1 = 0. Điều này không xảy ra vì ab = 4 .Chú ý : a, b > 0 nên mẫu số ( nếu có ) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu .

Dạng 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ

Phương pháp

Cho hàm số vô tỷ y = f ( x )Tìm tập xác lập D của hàm số .Để sống sót tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) thì trong tập xác lập D của hàm số phải chứa tối thiểu một trong hai kí hiệu – ∞ hoặc + ∞ và sống sót tối thiểu một trong hai số lượng giới hạn hoặc hữu hạn .

Bài tập

Bài tập 1: Biết đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = -1. Giá trị 2a + b3 bằng

A. 56B. – 56C. – 72D. 72Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiện ax2 + bx + 4 ≥ 0Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a > 0Khi đó, ta cóVậy 2 a + b3 = – 56Chú ý : Để thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a – 4 = 0. Khi đó

Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2?

A. 0B. Vô sốC. 1D. 2Hướng dẫn giảiChọn DTập xác lậpTa cóĐồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2

Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với A là số thực khác 0, g(x) xác định theo f(x)

Phương pháp giải

Xác định tiệm cận đứng :Số tiệm cận của đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình g ( x ) = 0Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) để xác lập số nghiệm của phương trình g ( x ) để suy ra số đường tiệm cận đứng .Xác định tiệm cận ngang : dựa vào nhánh vô tận của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác lập .

Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận của hàm sốA. 2B. 3C. 1D. 4Hướng dẫn giảiChọn DSố đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f ( x ) + 1 = 0 ⇔ f ( x ) = – 1Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng .Ta có nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang làVậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận .

Bài tập 2. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số làA. 2B. 4C. 3D. 1Hướng dẫn giảiChọn AĐặt t = x3 + x, ta có khi x → – ∞ thì t → – ∞ và khi x → + ∞ thì t → + ∞Mặt khác ta có t ’ = 3×2 + 1 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên với mọi t ∈ ℝ phương trình x3 + x = t có duy nhất một nghiệm x .Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trìnhf ( t ) + 3 = 0 ⇔ f ( t ) = – 3Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng .Ta có nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận .

Bài tập 3. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ)có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang ?A. 2B. 3C. 4D. 5Hướng dẫn giảiChọn CĐặt t = 4 – x2, ta có khi x → ± ∞ thì t → – ∞Khi đó nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g ( x ) .Mặt khác f ( 4 – x2 ) – 3 = 0 ⇔ f ( 4 – x2 ) = 3 ⇔⇒ Đồ thị hàm số g ( x ) có ba đường tiệm cận đứng .Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có bốn đường tiệm cận .

Dạng 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với φ(x) là một biểu thức theo x, g(x) là biểu thức theo f(x)

Phương pháp giải

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) tìm nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 và xác lập biểu thức g ( x )Rút gọn biểu thức và tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang .Chú ý :– Điều kiện sống sót của φ ( x )– Sử dụng đặc thù nếu đa thức g ( x ) có nghiệm là x = x0 thì g ( x ) = ( x – x0 ) ․ g1 ( x ), ở đó g1 ( x ) là một đa thức .

Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?A. 4B. 6C. 3D. 5Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện xác lậpXét phương trìnhDựa vào đồ thị ta thấy– Phương trình ( 1 ) có hai nghiệm phân biệt x = x1 < 1 ( loại ) và x = 2 ( nghiệm kép )– Phương trình ( 2 ) có ba nghiệm phân biệt x = 1, x = x2 ∈ ( 1 ; 2 ), x = x3 > 2 .Khi đóf2 ( x ) – f ( x ) = f ( x ) [ f ( x ) – 1 ] = a2 ( x – x1 ) ( x – 2 ) 2 ( x – 1 ) ( x – x2 ) ( x – x3 )Suy raTrong đó x1 < 1, x2 ∈ ( 1 ; 2 ), x3 > 2 nên đồ thị hàm số y = g ( x ) có ba tiệm cận đứng là x = 2 ; x = x2 ; x = x3

Bài tập 2. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đặt. Đồ thị hàm số y = g ( x ) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?A. 4B. 2C. 5D. 3Hướng dẫn giảiChọn AĐiều kiện xác lậpTa cóDựa vào đồ thị ta có f ( x ) = 0 có hai nghiệm x = x1 < 0 và x = 1 ( nghiệm kép ) .Vậy biểu thức f2 ( x ) – 2 f ( x ) = f ( x ) [ f ( x ) – 2 ] = a2 ( x – x1 ) ( x – 1 ) 2 x ( x – x2 ) ( x – x3 )Khi đó ta cóVậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng .

Bài tập 3. Cho f(x) là hàm đa thức bậc 6 có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?A. 3B. 2C. 4D. 1Hướng dẫn giảiChọn AĐiều kiệnTa có ( x – 3 ) ( x2 – 4 x + 3 ) = ( x – 3 ) 2 ( x – 1 ) ; f ’ ( x ) ․ [ f ( x ) – 2 ] = 0Dựa vào bảng biến thiên, ta cóf ’ ( x ) = 0 có nghiệm là x = 1 ; x = 2 ( nghiệm kép ) ; x = 3 ( nghiệm kép )⇒ f ’ ( x ) = a ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( x – 3 ) 2 với a > 0f ( x ) = 2 có hai nghiệm nên f ( x ) = ( x – x1 ) ( x – x2 ) ․ p ( x ) với p ( x ) là một đa thức bậc 4 và p ( x ) > 0, ∀ x ∈ ℝKhi đóVậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có ba đường tiệm cận đứng .Chú ý : Do f ( x ) là hàm đa thức bậc 6 nên f ’ ( x ) là hàm đa thức bậc 5 .

Bài tập 4. Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn 3f(1) – 2 < 0 và 3f(a) – a3 + 3a > 0, ∀ a > 2. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số làA. 0B. 2C. 1D. 3Hướng dẫn giảiChọn B .Đặt h ( x ) = 3 f ( x + 2 ) – x3 + 3 x. Điều kiện h ( x ) ≠ 0Ta có h ’ ( x ) = 3 f ’ ( x + 2 ) – 3×2 + 3h ’ ( x ) = 0 ⇔ f ’ ( x + 2 ) = x2 – 1Đặt t = x + 2, ta được f ’ ( t ) = t2 – 4 t + 3 ( * )Vẽ đồ thị hàm số y = t2 – 4 t + 3 vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số y = f ’ ( t ) ta được hình vẽ sauDựa vào đồ thị ta thấy ( * ) có ba nghiệm là t = 1 ; t = 3 ; t = a > 4Suy ra phương trình h ’ ( x ) = 0 có nghiệm đơn x = x-1 ; x = 1 ; x = a – 2 = b > 2Ta có bảng biến thiên của h ( x ) như sauVì h ( – 1 ) = 3 f ( 1 ) – 2 < 0Và h ( b ) = 3 f ( a ) – ( a – 2 ) 2 + ( a – 2 ) 3 + 3 ( a – 2 ) = 3 f ( a ) – a3 + 6 a2 – 12 a + 2 > 0với mọi a > 4 nên phương trình h ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x = x1 < - 1 ; x = x2 ∈ ( - 1 ; 1 )Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có hai tiệm cận đứng .

Dạng 7: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức, với f(x) và g(x) là các đa thức

Phương pháp giải

Điều kiện đề đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc f ( x ) ≤ bậc g ( x ). Khi đó đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang .Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x0Trường hợp 1 : x = x0 là nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 nhưng không là nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 .Trường hợp 2 : x = x0 là nghiệm bội n của phương trình g ( x ) = 0, đồng thời là nghiệm bội m của phương trình f ( x ) = 0 thì n > m .Ta có f ( x ) = ( x – x0 ) m ․ f1 ( x ) với f1 ( x ) không có nghiệm x = x0 và g ( x ) = ( x – x0 ) n ․ g1 ( x ) với g1 ( x ) không có nghiệm x = x0. Khi đóNên x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho .

Bài tập

Bài tập 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số có ba tiệm cận. Tổng các giá trị của tập S bằng

A. 6B. 19C. 3D. 15Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện x2 + 2 x + mét vuông – 3 m ≠ 0Ta có đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 0Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác – 2 của phương trình x2 + 2 x + mét vuông – 3 m = 0 nên để đồ thị hàm số có ba tiệm cận thì phương trình x2 + 2 x + mét vuông – 3 m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác – 2 .Do m nguyên dương nên m ∈ { 1 ; 2 } .Vậy tổng những giá trị của tập S bằng 3 .

Bài tập 2. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận là

A. – 5B. 4C. – 1D. 5Hướng dẫn giảiChọn AĐiều kiện x ≠ 1 ; x ≠ 2Vì nên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang y = 1 với mọi mTa có x2 – 3 x + 2 ⇔Xét f ( x ) = x2 + m. Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì f ( x ) phải nhận x = 1 hoặc x = 2 là nghiệm hayVới m = – 1, ta có hàm số nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 2 ; y = 1 ( thỏa mãn nhu cầu ) .Với m = – 4, ta có hàm số nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 1 ; y = 1 ( thỏa mãn nhu cầu ) .Vậy S = { – 1 ; – 4 } nên tổng những giá trị m bằng – 5 .

Bài tập 3. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng

A. – 12B. 12C. 15D. – 15Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện x2 – mx – m + 5 ≠ 0Đặt f ( x ) = x2 – 3 x + 2, g ( x ) = x2 – mx – m + 5Ta có f ( x ) = 0 ⇔ là nghiệm đơn của tử thức .Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có những trường hợp sau– Trường hợp 1. Phương trình g ( x ) = 0 vô nghiệm ∆ = mét vuông + 4 m – 20 < 0 ⇔Do m ∈ ℤ nên m ∈ { - 6 ; - 5 ; … ; 2 }– Trường hợp 2. f ( x ) = 0 nhận đồng thời x = 1 và x = 2 làm nghiệmThử lại, ta có, khi đó đồ thị hàm số y = 1 không có tiệm cận ⇒ loại .Vậy những giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là m ∈ { - 6 ; - 5 ; … ; 2 ; 3 } nên tổng bằng - 15 .

Bài tập 4. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận là

A. { – 1 ; 0 }B. { 0 }C. ( – ∞ ; – 1 ) ∪ { 0 }D. ( – ∞ ; – 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiệnVới m = 0, hàm số có dạngĐồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang y = 0Do đó m = 0 là một giá trị cần tìm .Với m ≠ 0Ta có nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận thì+ Trường hợp 1. Hai phương trình f ( x ) = mx2 – 2 x + 1 = 0 và g ( x ) = 4×2 + 4 mx + 1 = 0 cùng vô nghiệm⇒ vô nghiệm+ Trường hợp 2. Phương trình ( mx2 – 2 x + 1 ) ( 4×2 + 4 mx + 1 ) = 0 có nghiệm duy nhất là. Khi đó là nghiệm của một trong hai phương trình f ( x ) = 0 hoặc g ( x ) = 0Do m ≠ 0 nên m = – 1 .Thử lại, với m = – 1 thì hàm số làKhi đó, đồ thị hàm số đã cho có những tiệm cận đứng là không thỏa mãn nhu cầu .Vậy tập hợp tham số m cần tìm là m ∈ { 0 }

Dạng 8: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức

Phương pháp giải

Thực hiện theo những bước sau– Bước 1. Tìm tập xác lập của hàm số .– Bước 2. Xác định những đường tiệm cận .Tiệm cận ngang+ Điều kiện cần : Để đồ thị hàm số chứa căn thức có tiệm cận ngang thì trong tập xác lập phải có những khoảng chừng ( – ∞ ; a ) hoặc ( b ; + ∞ ) .+ Điều kiện đủ là : Tồn tại một trong những số lượng giới hạn hoặc thì đường thẳng y = a hoặc y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho .Tiệm cận đứng : Tồn tại giá trị x0 để một trong những số lượng giới hạn hoặc thì x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho .

Bài tập

Bài tập 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận là

A.B. m > 0C.D. ∀ m ∈ ℝHướng dẫn giảiChọn AĐiều kiệnĐể đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m > 0Khi đó tập xác lập của hàm số làNếu m ≤ 0 thì mx2 – 4 < 0Ta có nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang làĐể sống sót tiệm cận đứng x = 3 thìKết hợp lại ta có

Bài tập 2. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận là

A. m ∈ ℝ

B.

C.D.Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiệnTập xác lập D = ( – ∞ ; – 3 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) { 1 ; – m – 2 }Ta có, ∀ m ∈ D ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng .Với m = – 3 thì D = ( – ∞ ; – 3 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) { 1 }Khi đó, ta có hàm sốDo đó nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ⇒ m = – 3 thỏa mãn nhu cầu .Với m ≠ – 3, ta có⇒ x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .Để đường x = – m – 2 là tiệm cận đứng thìKhi đó ( tùy theo m ) nên x = – m – 2 là tiệm cận đứngKết hợp cả hai trường hợp, ta có

Bài tập 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

A. m > 1B. 0 < m < 1C. m = 1D. m = - 1Hướng dẫn giảiChọn CTrường hợp 1. Với m = 0 thì hàm số là y = x + 1 nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm .Trường hợp 2. Với m < 0 thì hàm số có tập xác lập là nên không sống sót và ⇒ đồ thị không có tiệm cận ngang .Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm .Trường hợp 3. Với m > 0 thì hàm số có tập xác lập là D = ℝXétXétĐể đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì 1 – m = 0 ⇔ m = 1

Bài tập 4. Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số có bốn đường tiệm cận phân biệt là

A. ( 0 ; + ∞ )B.C.D. { 1 }Hướng dẫn giảiChọn D .Điều kiện mx2 – 3 mx + 2 > 0 ( * )– Trường hợp 1. Với m = 0, ta có nên đồ thị không có đường tiệm cận .Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm .– Trường hợp 2. Với m < 0 .Phương trình mx2 – 3 mx + 2 = 0 có ∆ = 9 mét vuông – 8 m > 0, ∀ m < 0 nên mx2 – 3 mx + 2 > 0 ⇔ x ∈ [ x1 ; x2 ] ( với x1, x2 là là hai nghiệm của phương trình mx2 – 3 mx + 2 = 0 ) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chỉ có tối đa hai tiệm cận đứng .Nếu ∆ ≤ 0 thì hàm số có tập xác lập là D = ∅Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm .– Trường hợp 3. Với m > 0 .Xét phương trình mx2 – 3 mx + 2 = 0Nếu ∆ = 9 mét vuông – 8 m < 0 ⇔. Hàm số xác lập trên ℝ .Khi đó mx2 – 3 mx + 2 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng mà chỉ có hai tiệm cận ngang là vìNếu ∆ = 9 mét vuông – 8 m = 0 ⇔ .Khi đó, hàm số trở thành nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang .Nếu ∆ = 9 mét vuông – 8 m > 0 ⇔ .Hàm số xác lập trên những khoảng chừng ( – ∞ ; x1 ) và ( x2 ; + ∞ ) .Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là .Để đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng .Vì x = 1 là nghiệm của tử f ( x ) = x – 1 nên để đồ thị có hai tiệm cận đứng thì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình mx2 – 3 mx + 2 = 0 ⇔ m – 3 m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1Vậy giá trị của m cần tìm là .Nếu x = 1 là nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 do phương trình g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt nên phương trình g ( x ) = 0 có một nghiệm nữa x = a ≠ 1 thì g ( x ) = m ( x – 1 ) ( x – a ). Khi đó hàm số có dạng nên chỉ có một tiệm cận

Bài tập 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng?

A. 1B. 2C. 4D. 3Hướng dẫn giảiChọn BĐiều kiệnĐặt f ( x ) = x2 – ( 1 – m ) x + 2 mĐể đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ≥ – 1– Trường hợp 1. f ( x ) có nghiệm x = – 1 ⇔ f ( – 1 ) = 0 ⇔ m = – 2Khi đó hàm số có dạng có tập xác lập là D = ( 4 ; + ∞ ) nên chỉ có một tiệm cận đứng .– Trường hợp 2. f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 > – 1 ⇔Do m ∈ ℤ nên m = – 1 ; m = 0

Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn

Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?A. 1B. 2C. 3D. 4Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiện f ( x ) ≠ mĐể đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng thì phương trình f ( x ) = m phải có nghiệm .Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ’ ( x ) suy ra phương trình f ’ ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm là với – 1 < a < 1 < bTừ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sauSuy ra phương trình y = f ( x ) có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt .Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng .

Bài tập 2. Cho hàm số với h(x) = mx4 + nx3 + px2 + qx (m, n, p, q ∈ ℝ, m ≠ 0), h (0) = 0. Hàm số y = h’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g ( x ) có hai tiệm cận đứng ?A. 2B. 11C. 71D. 2019Hướng dẫn giảiChọn B .Từ đồ thị suy ra h ’ ( x ) = m ( x + 1 ) ( 4 x – 5 ) ( x – 3 ) = m ( 4×3 – 13×2 – 2 x + 15 ) và m < 0Nên do h ( 0 ) = 0Đồ thị g ( x ) có hai đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình h ( x ) = mét vuông + m có hai nghiệm phân biệt⇔ có hai nghiệm phân biệt .ĐặtTa có bảng biến thiên của f ( x ) như sauVì m < 0 nênVậy có 11 số nguyên m .

Bài tập 3. Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc 3. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ dưới đây và f (-1) < 20

Đồ thị hàm số ( m là tham số thực ) có bốn tiệm cận khi và chỉ khiA. m < f ( 3 )B. f ( 3 ) < m < f ( - 1 )C. m > f ( – 1 )D. f ( 3 ) ≤ m ≤ f ( – 1 )Hướng dẫn giảiChọn B .Điều kiện f ( x ) ≠ mTừ đồ thị hàm số f ’ ( x ), ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) làNếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận .Nếu m ≠ 20 thì ⇒ Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .Ta có phương trình f ( x ) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f ( – 1 ) < 20Suy ra đồ thị hàm số g ( x ) có bốn tiệm cận khi phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm phân biệt khác a ⇔ f ( 3 ) < m < f ( - 1 )

Bài tập 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2020; 2020] để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng y = -1.

A. 2B. 0C. 1D. 3Hướng dẫn giảiChọn CĐiều kiệnDo nên khi x → + ∞ thì 2 f ( x ) – f2 ( x ) → – ∞ vì thế không có nghĩa khi x đủ lớn. Do đó không sống sót .Xét .Vì nên ;Từ đó với m ≠ 1Khi đó đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận ngang là đường thẳngĐể tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = – 1 thìVì m ∈ ℤ nên m = 0 .

Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận khi và chỉ khi ad – bc ≠ 0, c ≠ 0Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng làPhương trình đường tiệm cận ngang làTọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm và cũng là tâm đối xứng của đồ thị .Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có những kích cỡ là nên có chu vi là và diện tích quy hoạnh là .

Bài tập

Bài tập 1. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng đi qua điểm là

A. m = – 2B. m = 2C.D. m = – 1Hướng dẫn giảiChọn BTa có ad – bc = mét vuông + 2 ≠ 0, ∀ m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x =Để tiệm cận đứng đi qua điểm thì = – 1 ⇔ m = 2

Bài tập 2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

A. 3 ( đvdt )B. 6 ( đvdt )C. 1 ( đvdt )D. 2 ( đvdt )Hướng dẫn giảiChọn DPhương trình những đường tiệm cận là x = 1 ; y = 2Do đó hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích quy hoạnh bằng 1 ․ 2 = 2 ( đvdt ) .

Bài tập 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 là

A. m ≠ ± 2B. m = 2C.D. m = ± 4Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là – 2 m – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0Khi đó phương trình hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 mTheo công thức tính diện tích quy hoạnh hình chữ nhật tạo bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ, ta có S = | 2 m |Theo giả thiết thì | 2 m | = 8 ⇔ m = ± 4

Bài tập 4. Cho đồ thị hai hàm số và với. Tất cả các giá trị thực dương của tham số a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 4 là

A. a = 6B. a = 4C. a = 3D. a = 1Hướng dẫn giảiChọn AĐồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = – 1 và y = 2Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 2 a – 1 ≠ 0 ⇔Với điều kiện kèm theo đó thì đồ thị hàm số g ( x ) có hai đường tiệm cận là x = – 2 và y = aHình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai size là 1 và | a – 2 | .Theo giả thiết, ta có | a – 2 | ․ 1 = 4 ⇔Vì a > 0 nên a = 6 .

Bài tập 5. Cho hàm số có đồ thị (C). Hai đường tiệm cận của (C) cắt nhau tại I. Đường thẳng d: y = 2x + b (b là tham số thực) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Biết b < 0 và diện tích tam giác AIB bằng. Giá trị của b bằng

A. – 1B. – 3C. – 2D. – 4Hướng dẫn giảiChọn DTa có tọa độ điểm I ( 1 ; 1 )Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và d làĐường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1Gọi x1, x2 là hai nghiệm của ( * ) .Khi đó A ( x1 ; 2×1 + b ), B ( x2 ; 2×2 + b )Ta cóDiện tích tam giác IAB làTheo giả thiết thìDo b < 0 nên b = - 4Chú ý :Với tam giác ABC có thìNếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì

Bài tập 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 và (x + 1)2 + y2 = 1. Biết đồ thị hàm số đi qua tâm của (C1), đi qua tâm của (C2) và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả (C1) và (C2). Tổng a +b + c là

A. 5B. 8C. 2D. – 1Hướng dẫn giảiChọn CĐường tròn ( C1 ) có tâm I1 ( 1 ; 2 ) ; R1 = 1 và ( C2 ) có tâm I2 ( – 1 ; 0 ) ; R2 = 1Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là ac – b ≠ 0Gọi ( C ) là đồ thị hàm sốKhi đó ta có những đường tiệm cận ( C ) là x = – c và y = aTa có I1, I2 ∈ ( C )Đường thẳng x = – c tiếp xúc với cả ( C1 ) và ( C2 ) nên⇒ a = b = 1Khi đó tiệm cận ngang của ( C ) là y = 1 tiếp xúc cới cả ( C1 ) và ( C2 ) thỏa mãn nhu cầu bài toán .Vậy a = b = 1 ; c = 0 ⇒ a + b + c = 2

Dạng 11: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận

Phương pháp giải

Giả sử đồ thị hàm số có những đường tiệm cận làGọi là điểm bất kỳ trên đồ thịKhi đó vàVậy ta luôn có là một số ít không đổiKhi đó nên khi d1 = d2Ví dụ : Xét hàm số có hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2. Khi đó tích những khoảng cách từ điểm M bất kể trên đồ thị đến hai đường tiệm cận là

Bài tập

Bài tập 1. Gọi M là giao điểm của đồ thị với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng

A. 4B. 2C. 8D. 6Hướng dẫn giảiChọn BGọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho .Áp dụng công thức, ta có

Bài tập 2. Cho hàm số (C). Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của d bằng

A. 10B. 6C. 2D. 5Hướng dẫn giảiChọn CGọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho .Áp dụng công thức, ta cóKhi đóVậy dmin = 2

Bài tập 3. Cho hàm số có đồ thị (C). Điểm M có hoành độ dương, nằm trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của (C) bằng

A. 5B.C.D. 4Hướng dẫn giảiChọn CGiả sử ( x0 > 0 ; x0 ≠ 3 )Đồ thị ( C ) có tiệm cận đứng ∆ 1 : x = 3, tiệm cận ngang ∆ 2 : y = 3 và tâm đối xứng I ( 3 ; 3 )Khi đó d1 = d ( M ; ∆ 1 ) = | x0 – 3 | và d2 = d ( M ; ∆ 2 ) =Theo giả thiếtVậy M ( 7 ; 5 ) ⇒ IM =

Bài tập 4. Cho hàm số có đồ thị (H). Gọi M(x0; y0) với x0 < 0 là một điểm thuộc đồ thị (H) thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (H) bằng 6. Giá trị của biểu thức S = (x0 + y0)2 bằng

A. 4B. 0C. 9D. 1Hướng dẫn giảiChọn CĐồ thị ( H ) có tiệm cận ∆ 1 : x = – 1, tiệm cận ngang ∆ 2 : y = 4Gọi, x0 ≠ – 1, x0 < 0Khi đó d1 = d ( M ; ∆ 1 ) = | x0 + 1 | và d2 = d ( M ; ∆ 2 ) = ⇒ d1 ․ d2 = 9Ta có nên min ( d1 + d2 ) = 6 khiDo x0 < 0 nên M ( - 4 ; 7 ) ⇒ S = 9

Dạng 12: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Giả sử đồ thị hàm số có đồ thị ( C ) có những đường tiệm cận là vàGọi là điểm bất kể trên đồ thịKhi đó tiếp tuyến của ( C ) tại M làGọi A = d ∩ ∆ 1B = d ∩ ∆ 2Do đó là một số ít không đổiDo △ IAB vuông tại I nên là 1 số ít không đổiNgoài ra, ta có nên M luôn là trung điểm của AB .Ta có những dạng câu hỏi thường gặp sauCâu 1 : Tính diện tích quy hoạnh tam giác IAB .Câu 2 : Tìm điểm M ∈ ( C ) hoặc viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cóCạnh huyền nhỏ nhấtDấu bằng xảy ra khi IA = IBChu vi nhỏ nhấtDấu bằng xảy ra khi IA = IBBán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhấtDấu bằng xảy ra khi IA = IBBán kính đường tròn nội tiếp lớn nhấtVậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất và bằngDấu bằng xảy ra khi IA = IBKhoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhấtGọi H là hình chiếu của I lên d, ta cóDấu bằng xảy ra khi IA = IBNhận xét : Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy ra khi IA = IB nên △ IAB vuông cân tại I. Gọi α là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ∆ 2 thì α = ( d ; ∆ 2 ) = ( d ; Ox ) = 45 ° nên thông số góc của tiếp tuyến là k = ± tan 45 ° = ± 1 .Vậy những bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết thông số góc k = 1 hoặc k = – 1 .

Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc (C) cắt các đường tiệm cận của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng

A. 4B.C.D. 2Hướng dẫn giảiChọn DÁp dụng công thức, ta có

Bài tập 2. Cho hàm số (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số (C). Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C) đạt giá trị lớn nhất bằng

A.B. 1C.D.Hướng dẫn giảiChọn ATọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận làGọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại M ∈ ( C ) bất kể với hai đường tiệm cận .Khi đó ta cóGọi H là hình chiếu của I trên d, ta cóVậy IHmax =

Bài tập 3. Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận (C). Biết tiếp tuyến ∆ của (C) tại M cắt các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi ∆ và hai trục tọa độ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. ( 28 ; 29 )B. ( 29 ; 30 )C. ( 27 ; 28 )D. ( 26 ; 27 )Hướng dẫn giảiChọn CTa cóTheo triết lý thì để diện tích quy hoạnh đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó thông số góc của tiếp tuyến ∆ phải là k = ± 1 .Do y ’ < 0, ∀ x nên k = - 1 .Xét phương trìnhVới ⇒ Tiếp tuyến ∆ 1 :Khi đó ∆ 1 cắt Ox, Oy tại hai điểm vàVới ⇒ Tiếp tuyến ∆ 1 :Khi đó ∆ 1 cắt Ox, Oy tại hai điểm và

Bài tập 4. Cho hàm số, gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m – 2. Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A(x1; y1) và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại điểm B(x2; y2). Gọi S là tập hợp các số m sao cho x2 + y1 = -5. Tổng bình phương các phần tử của S bằng

A. 4B. 9C. 0D. 10Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện m – 2 ≠ 2 ⇔ m ≠ 0Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ∆ : x = – 2 và tiệm cận ngang ∆ ’ : y = 1Ta có vàPhương trình đường thẳng d làDo đó x2 + y1 = – 5Vậy S = ( – 3 ) 2 + 12 = 10

Tài liệu hay về đường tiệm cận

Bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số Open nhiều trong những đề thi toán lớp 12 và kỳ thi THPTQG. Để giúp những bạn học viên có thêm nguồn tài liệu tìm hiểu thêm chất lượng, chúng tôi đã tổng hợp lại 1 số ít tài liệu hay về chuyên đề này. Mỗi tài liệu đều có đáp án và phân dạng rõ ràng .

#1. Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Thông tin tài liệu
Tác giả Thầy Nguyễn Bảo Vương
Số trang 42
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Dạng 1. Xác định đường tiệm cận trải qua bảng biến thiên– Dạng 2. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước– Dạng 3. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo cho trước– Dạng 4. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g [ f ( x ) ] khi biết bảng biến thiên hàm số f ( x )

#2. Tổng ôn tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả Thầy Nguyễn Vương
Số trang 38
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Lý thuyết tiệm cận đứng tiệm cận ngang– Dạng 1 : Tìm tiệm cận đồ thị hàm số trải qua bảng biến thiên và đồ thị .– Dạng 2 : Tìm tiệm cận đồ thị hàm số trải qua hàm số– Dạng 3 : Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo cho trước– Phần giải thuật cho 3 dạng bài tập .

#3. Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả CLB Giáo Viên Trẻ TP Huế
Số trang 57
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Lý thuyết đường tiệm cận của hàm số– Dạng 1 : Câu hỏi triết lý về đường tiệm cận của hàm số– Dạng 2 : Xác định đường tiệm cận của hàm số– Dạng 3 : Bài toán tham số tương quan đến tiệm cận– Dạng 4 : Tiệm cận của đồ thị hàm ẩn– Dạng 5 : Các bài toán khác về đường tiệm cận của hàm số

#4. Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả Thầy Phạm Hoàng Điệp
Số trang 17
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Lý thuyết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .– Lý thuyết về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .– Một số dạng toán thường gặp tương quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số .– Bài tập tự luận .

#5. Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả
Số trang 35
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Dạng 1. Xác định những đường tiệm cận dựa vào định nghĩa– Dạng 2 : Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức– Dạng 3 : Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ– Dạng 4 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ– Dạng 5 : Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ), xác lập tiệm cận của đồ thị hàm số y = A / g ( x ) với A là số thực khác 0, g ( x ) xác lập theo f ( x ) .– Dạng 6 : Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ), xác lập tiệm cận của đồ thị hàm số y = h ( x ) / g ( x ) với h ( x ) là một biểu thức theo x, g ( x ) là biểu thức theo f ( x )– Dạng 7 : Biện luôn số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức y = f ( x ) / g ( x ) với f ( x ) và g ( x ) là những đa thức .– Dạng 8 : Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức– Dạng 9 : Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn– Dạng 10 : Bài toán tương quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = ( ax + b ) / ( cx + d )– Dạng 11 : Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số y = ( ax + b ) / ( cx + d ) đến những đường tiệm cận– Dạng 12 : Bài toán tương quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số y = ( ax + b ) / ( cx + d )

#6. Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả
Số trang 95
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :Dạng 1 : Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số .Dạng 2 : Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán chứa tham số .Dạng 3 : Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g ( x ), trong bài toán không chứa tham số .Dạng 4 : Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g ( x ), trong bài toán chứa tham số .Dạng 5 : Biết BBT của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số .Dạng 6 : Biết BBT của hàm số y = f ( x ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán chứa tham số .Dạng 7 : Biết BBT của hàm số y = f ( x ) tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g ( x ) trong bài toán không chứa tham số .Dạng 8 : Biết BBT của hàm số y = f ( x ) tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g ( x ) trong bài toán chứa tham số .Dạng 9 : Biết số lượng giới hạn của hàm số y = f ( x ) tại một điểm hoặc tại vô cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số .Dạng 10 : Biết số lượng giới hạn của hàm số y = f ( x ) tại một điểm hoặc tại vô cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) trong bài toán chứa tham số .Dạng 11 : Biết biểu thức hoặc đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f ’ ( x ) tìm tiệm cận của hàm số y = g ( x ) .

#7. Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả Thầy Đặng Việt Đông
Số trang 29
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Kiến thức chung– Dạng 1 : Bài toán không chứa tham số– Dạng 2 : Các bài toán chứa tham sốBÀI HỌC TIẾP THEO– Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số– Công thức logarit– Công thức nguyên hàm– Tích phân– Số phức

Thầy Dũng dạy toán học từ năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc nhìn nào đó, tất cả chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong đời sống và cần phải hiểu rõ về thực chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm xúc rất như mong muốn khi được làm biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy hoàn toàn có thể tiếp cận nhiều học viên hơn .

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *