1. Các công thức tính tổ hợp

1.1. Tổ hợp lặp

Cho tập $ left { A = a_ { 1 } ; a_ { 2 } ; … ; a_ { n } right } $ và số tự nhiên K bất kể. Một tổ hợp lặp chập k của n thành phần là một hợp gồm k thành phần, trong đó mỗi thành phần là một trong n thành phần của A .
Số tổ hợp lặp chập k của n thành phần :

$bar{C_{n}^{k}} = C_{n+k-1}^{k} + C_{n+k-1}^{m-1}$

1.2. Tổ hợp không lặp

Cho tập A gồm n thành phần. Mỗi tập con gồm USD ( 1 leq k leq n ) USD thành phần của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n thành phần .
Số những tổ hợp chập k của n thành phần :
USD C_ { n } ^ { k } = frac { A_ { n } ^ { k } } { k ! } = frac { n ! } { k ! ( n-k ) ! } $
Quy ước : $ C_ { n } ^ { 0 } = 1 USD
Tính chất :
USD C_ { n } ^ { 0 } = C_ { n } ^ { n } = 1 ; C_ { n } ^ { k } = C_ { n } ^ { n-k } ; C_ { n } ^ { k } = C_ { n-1 } ^ { k-1 } + C_ { n-1 } ^ { k } ; C_ { n } ^ { k } = frac { n-k+1 } { k } C_ { n } ^ { k-1 } $

2. Các công thức tính xác suất

USD P ( A ) = frac { n ( A ) } { n ( Omega ) } $
Trong đó :

• n ( A ) : là thành phần của tập hợp A, cũng chính là số những hiệu quả hoàn toàn có thể có của phép thử T thuận tiện cho biến Q.
• n ( $ Omega USD ) : là số phân tử của khoảng trống mẫu $ Omega $ cũng chính là số những hiệu quả hoàn toàn có thể có của phép thử T

Ngoài ra khi giải bài toán xác suất những em sẽ phải vận dụng một số ít công thức về đặc thù của xác suất :

1. USD P ( oslash ) = 0, P ( Omega ) = 1 USD
2. USD 0 leq P leq 1 USD
3. USD P ( bar { A } ) = 1 – P ( A ) USD
4. USD P ( A cup B ) = P ( A ) + P ( B ) USD
5. USD P ( A. B ) = P ( A ). P ( B ) Leftrightarrow $ A và B độc lập

3. Một số bài tập về tổ hợp xác suất từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

Sau khi nắm được kim chỉ nan tổ hợp xác suất và những công thức thì những em hãy tìm hiểu thêm thêm 1 số ít bài tập dưới đây nhé !

Câu 1: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.

Giải :
Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kể từ 16 quả là C164
Gọi A là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng ”. Ta xét ba năng lực sau :
– Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là : USD C_ { 4 } ^ { 1 }. C_ { 5 } ^ { 3 } $
– Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là : USD C_ { 4 } ^ { 1 }. C_ { 5 } ^ { 2 }. C_ { 7 } ^ { 1 } $
– Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là : USD C_ { 4 } ^ { 1 }. C_ { 5 } ^ { 1 }. C_ { 7 } ^ { 2 } $
Vậy xác suất của biến cố A là : $ frac { C_ { 4 } ^ { 1 }. C_ { 5 } ^ { 3 } + C_ { 4 } ^ { 1 }. C_ { 5 } ^ { 2 } + C_ { 4 } 6 { 1 }. C_ { 5 } ^ { 1 }. C_ { 7 } ^ { 2 } } { C_ { 1 } 6 ^ { 4 } } = frac { 37 } { 91 } $

Câu 2: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ.

Giải :
Gọi USD Omega $ là khoảng trống mẫu của phép thử
Chọn ngẫu nhiên một số ít từ tập X khi đó : $ left | Omega right | = A_ { 9 } ^ { 6 } = 60480 USD
Gọi A là biến cố số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ khi đó :

• Chọn 3 số lẻ đôi một khác từ những số 1, 3, 5, 7, 7, 9 có USD C_ { 5 } ^ { 3 } $ cách .
• Chọn 3 chữ số chẵn đôi một khác nhau từ những chữ số 2, 4, 6, 8 có USD C_ { 4 } ^ { 3 } $ cách .

Do đó $ left | Omega right | = C_ { 5 } ^ { 3 }. C_ { 4 } ^ { 3 }. 6 ! = 28800 USD
Vậy xác suất cần tìm là : $ P ( A ) = frac { left | Omega_ { A } right | } { Omega } = frac { 28800 } { 60480 } = frac { 10 } { 21 } $

Câu 3: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm.

Giải :
Gọi số cần tìm của S có dạng $ bar { abc } $
USD ( a neq 0 ; a neq b neq c ; a, b, c epsilon left { 1,1,2,3,4,5,6 right } ) USD
Số cách chọn chữ số a có 6 cách USD ( a neq 0 ) USD
Số cách chọn chữ số b có 6 cách ( vì $ a neq b USD )
Số cách chọn chữ số c có 5 cách ( vì USD c neq a, c neq b USD )
Vậy S có 6.6.5 = 180 số
Số thành phần của khoảng trống mẫu là = 180
Gọi A là biến cố số được chọn có chữ số hàng đơn vị chức năng gấp đôi chữ số hàng trăm. Khi đó ta có 3 bộ số thỏa mãn nhu cầu biến cố A là : $ bar { 1 b2 }, bar { 2 b4 }, bar { 3 b6 } $ và trong mỗi bộ thì b có 5 cách chọn nên có 3.5 = 15 ( số ). Các hiệu quả có lợi cho biến cố A là $ left | Omega right | = 15 USD
Vậy $ P ( A ) = frac { left | Omega_ { A } right | } { left | Omega right | } = frac { 15 } { 180 } = frac { 1 } { 12 } $

Câu 4: Cho tập A có 20 phân tử. Có bao nhiêu tập con của A khác rỗng và số phân tử là số chẵn?

Giải :

Câu 5: Trong hệ tọa độ Oxy có 8 điểm nằm trên tia Ox và 5 điểm nằm trên tia Oy. Nối một điểm trên tia Ox và một điểm trên tia Oy ta được 40 đoạn thẳng. Hỏi 40 đoạn thẳng này cắt nhau tại bao nhiêu giao điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ xOy (Biết rằng không có bất kì 3 đoạn thẳng nào đồng quy tại 1 điểm).

Giải :
Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 13 điểm đã cho là USD C_ { 8 } ^ { 2 }. C_ { 5 } ^ { 2 } = 280 USD

Mỗi tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy  

Vậy số giao điểm là 280 .
Trên đây là tổng hợp công thức tính tổ hợp xác suất l cũng như những dạng bài tập thường gặp. Để đạt tác dụng tốt nhất, những em hoàn toàn có thể truy vấn Vuihoc. vn và ĐK thông tin tài khoản để luyện đề mỗi ngày ! Chúc những em đạt tác dụng cao trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia sắp tới .
>> Xem thêm : Hoán vị – chỉnh hợp và tổ hợp Toán học lớp 11

Source: https://thcsbevandan.edu.vn
Category : Phương pháp học tập