9b95_the-tich-khoi-non-3-8741793
Trong chương trình toán 12, thể tích khối nón là phần kiến thức và kỹ năng quan trọng. Ngoài ra, những bài tập thể tích khối nón Open rất nhiều trong những đề thi. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu và khám phá những công thức tính thể tích khối nón để hoàn toàn có thể thuận tiện hơn trong việc giải những bài tập tương quan nhé !

nội dung

1. Khối nón (hình nón) là gì?

Một hình được gọi là hình nón ( khối nón ) là khối hình hình học khoảng trống 3 chiều có mặt phẳng cong và bề mặt phẳng hướng về phía trên. Hình nón được phân ra thành 2 phần : phần đầu nhọn là đỉnh và phần đáy chính là phần hình tròn trụ mặt phẳng .
Trong đời sống tất cả chúng ta sẽ phát hiện rất nhiều đồ vật hình nón như : mũ sinh nhật, que kem ốc quế, …

fbbe_the-tich-khoi-non-1-8292709

Hình nón gồm có 3 thuộc tính gồm : một đỉnh hình tam giác, một mặt tròn là đáy hình nón và nó không có bất kể cạnh nào .
Chiều cao ( h ) chính là khoảng cách từ tâm vòng tròn đến đỉnh hình nón. Hình được tạo bởi nửa đường kính và đường cao trong hình nón chính là tam giác vuông .

2. Các loại hình nón phổ cập lúc bấy giờ

Hình nón có 3 loại phổ cập trong lúc bấy giờ, điều này tùy thuộc vào vị trí của đỉnh nằm nghiên hay nằm thẳng .

  • Hình nón tròn xoay : Là hình nón có đỉnh nối vuông góc với dưới mặt đáy tâm hình tròn trụ .
  • Hình nón cụt : Là hình nón có 2 hình tròn trụ song song nhau .
  • Hình nón xiên : Là hình nón có đỉnh không kéo vuông góc với tâm hình tròn trụ mà hoàn toàn có thể kéo từ 1 điểm bất kể mà không phải tâm của hình tròn trụ mặt dưới .

f6f5_the-tich-khoi-non-8-3932715

Vậy tính thể tích khối nón như thế nào ? Công thức tính thể tích khối nón được tính theo công thức nào ? Các bạn học viên hãy cùng theo dõi phần tiếp theo nhé !

3. Công thức tính thể tích khối nón

Để tính được thể tích hình nón tất cả chúng ta có công thức tính thể tích khối nón như sau :
Thể tích khối nón tính bằng 1/3 giá trị Pi nhân với bình phương nửa đường kính đáy mặt nón và nhân độ cao của hình nón .
USD V = frac { 1 } { 3 } pi R ^ { 2 } h USD
Trong đó ta có :

  • V : Thể tích hình nón
  • π : = 3,14
  • r : Bán kính
  • h : Đường cao

Ví dụ : Tính thể tích khối nón biết khối nón có độ dài đường sinh là 5 cm, nửa đường kính R hình tròn trụ đáy bằng 3 cm .
Giải :

0fc3_the-tich-khoi-non-6-6926999

Gọi O là đỉnh khối nón, A là điểm thuộc đường tròn đáy, H là tâm của hình tròn trụ. Ta có HA = 3 cm, OA = 5 cm ,
Trong tam giác vuông OHA, tính được OH
USD OH = sqrt { OA ^ { 2 } – HA ^ { 2 } } = sqrt { 5 ^ { 2 } – 3 ^ { 2 } } = 4 USD
USD V = frac { 1 } { 3 } pi. R ^ { 2 }. h = frac { 1 } { 3 } pi. 3 ^ { 2 }. 4 = 12 pi ( cm ^ { 3 } ) USD
USD V = frac { 1 } { 3 } pi R ^ { 2 } h = V = 12 pi = 37,68 m ^ { 3 } $

4. Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay

Thể tích khối nón tròn xoay được tính bằng công thức như sau :
USD V = frac { 1 } { 3 } B.h = frac { 1 } { 3 } pi R ^ { 2 } h USD

  • B : Diện tích đáy
  • r : Bán kính đáy
  • h : Chiều cao hình nón

9b95_the-tich-khoi-non-3-6460069

5. Công thức tính thể tích khối nón cụt (hình nón cụt)

Thể tích khối nón cụt được tính bằng hiệu của thể tích hình nón lớn và hình nón nhỏ, như sau :
USD V = frac { 1 } { 3 } pi ( r_ { 1 } ^ { 2 } + r_ { 2 } ^ { 2 } + r_ { 1 }. r_ { 2 } ) USD

  • V : Thể tích hình nón cụt
  • USD r_ { 1 }, r_ { 2 } USD : Bán kính 2 đáy
  • h : Chiều cao

44c1_the-tich-khoi-non-9-7534701

6. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Chúng ta đã được biết công thức tính thể tích khối nón, hình nón cụt, hình nón tròn xoay. Và để tính diện tích quy hoạnh xung quanh hình nón, ta cấn tính diện tích quy hoạnh những mặt xung quanh, bao quanh hình nón và không gồm có diện tích quy hoạnh đáy .

b061_the-tich-khoi-non-2-1618916

Công thức diện tích quy hoạnh xung quanh hình nón được tính theo công thức sau :
Sxq = π. r. l
Trong đó :

  • Sxq : Diện tích xung quanh
  • r : Bán kính đáy
  • l : Độ dài đường sinh

7. Cách xác định đường sinh, đường cao và bán kính đáy

  • Đường cao h là khoảng cách từ tâm dưới mặt đáy đến đỉnh hình chóp .
  • Đường sinh l là khoảng cách từ 1 điểm bất kể trên đường tròn đáy đến đỉnh hình chóp .

Do hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh trục một cạnh góc vuông của nó nên hoàn toàn có thể nửa đường kính đáy và đường cao là 2 cạnh góc vuông của tam giác, đường sinh là cạnh huyền. Nên khi biết đường cao h và nửa đường kính đáy, ta tính được đường sinh bằng công thức như sau :
USD l = sqrt { r ^ { 2 } + h ^ { 2 } } $
Biết nửa đường kính và đường sinh, ta tính đường cao :
USD h = sqrt { l ^ { 2 } – r ^ { 2 } } $
Khi ta được biết đường cao và đường sinh, ta tính nửa đường kính đáy theo công thức sau :

$r = sqrt{l^{2}-h^{2}}$ 

8. Một số bài tập tính thể tích khối nón từ cơ bản đến nâng cao

Bài 1: Cho khối nón có đỉnh là O có độ dài đường sinh bằng 5 cm, bán kính hình tròn đáy là 3 cm. Tính thể tích khối nón.

l = 5 cm R = 3 cm
Gọi O là đỉnh khối nón
H là tâm hình tròn trụ
A là điểm thuộc đường tròn đáy
Theo đề bài ta có OA = 5 cm, HA = 3 cm
Trong tam giác vuông OHA, có :
USD OH = sqrt { OA ^ { 2 } – HA ^ { 2 } } = sqrt { 5 ^ { 2 } – 3 ^ { 2 } } = 4 USD
USD V = frac { 1 } { 3 } pi. R ^ { 2 }. h = frac { 1 } { 3 } pi. 3 ^ { 2 }. 4 = 12 pi ( cm ^ { 3 } ) USD
Thể tích khối nón là : $ 37,68 cm ^ { 3 } $

Bài 2: Tính thể tích khối nón? Biết tứ diện đều ABCD có đỉnh A và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và các cạnh bằng a. 

Bài giải :
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, ta có AO = h, OC = r như hình bên

0cb4_the-tich-khoi-non-4-7072102

USD Rightarrow r = frac { 2 } { 3 }. frac { a sqrt { 3 } } { 2 } = frac { a sqrt { 3 } } { 3 } $
Suy ra
USD h = sqrt { a ^ { 2 } – r ^ { 2 } } = sqrt { a ^ { 2 } – ( frac { a sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } } = frac { sqrt { 2 a } } { sqrt { 3 } } $
Vậy thể tích khối nón là :
USD V = frac { 1 } { 3 } pi. R ^ { 2 }. h = frac { 1 } { 3 } pi. frac { a ^ { 2 } } { 3 }. frac { sqrt { 2 } a } { sqrt { 3 } } = frac { pi sqrt { 6 } a ^ { 3 } } { 27 } $

Bài 3: Hãy tính thể tích khối nón khi cho hình nón N có góc ở đỉnh bằng 60 độ, mặt phẳng qua trục của hình nón, cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2.

Bải giải :
Tam giác SAB đều, có góc S bằng 60 độ, SA = SB. Trọng tâm tam giác là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

0954_the-tich-khoi-non-5-2740193

Ta có nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là :
USD r = frac { 2 } { 3 } SO = 2 Leftrightarrow SO = 3 USD
Mà SO = SA.sin 60 o
USD Rightarrow SA = frac { SO } { Sin 60 ^ { circ } } $
USD = frac { 3 } { frac { sqrt { 3 } } { 2 } } = 2 sqrt { 3 } $
Bán kính của đường tròn khối nón là :
USD R = frac { AB } { 2 } = frac { 2 sqrt { 3 } } { 2 } = sqrt { 3 } $
Ta vận dụng công thức tính thể tích khối nón như sau :
USD V = frac { 1 } { 3 } pi ( sqrt { 3 } ) ^ { 2 }. 3 = 3 pi USD
Vậy V khối nón là : 3 x 3.14 = 9,42 Cm3

Bài 4: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm. Tính thể tích khối nón. Với l = 5 cm, R = 3 cm

Giải
Gọi O là đỉnh khối nón
H là tâm hình tròn trụ
A là điểm thuộc đường tròn đáy
OA = 5 cm, HA = 3 cm
Trong tam giác vuông OHA ,
USD OH = sqrt { OA ^ { 2 } – HA ^ { 2 } } = sqrt { 5 ^ { 2 } – 3 ^ { 2 } } = 4 USD
USD V = frac { 1 } { 3 } pi. R ^ { 2 }. h = frac { 1 } { 3 } pi. 3 ^ { 2 }. 4 = 12 pi ( cm ^ { 3 } ) USD

Bài 5: Cho ABC vuông tại A, AB = 8cm, BC = 10cm, Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc

a ) Ngân Hàng Á Châu quay quanh AB .
b ) ABC quay quanh AC .
Giải

53f7_the-tich-khoi-non-7-7473247

Trong tam giác vuông ABC ,
USD AC = sqrt { BC ^ { 2 } – AB ^ { 2 } } = sqrt { 10 ^ { 2 } – 8 ^ { 2 } } = 6 $ ( cm )
a ) Khi đường gấp khúc Ngân Hàng Á Châu quay quanh AB ta được hình nón có chiều cao h = AB = 8 ( cm ), nửa đường kính R = AC = 6 ( cm ) .
USD V = frac { 1 } { 3 } pi. R ^ { 2 }. h = frac { 1 } { 3 }. 6 ^ { 2 }. 8 = 96 pi ( cm ^ { 3 } ) USD

b) Khi đường gấp khúc ABC quay quanh AC ta được hình nón có chiều cao h = AC = 6(cm), bán kính R = AB = 8(cm).

USD V = frac { 1 } { 3 } pi. R ^ { 2 }. h = frac { 1 } { 3 } pi. 8 ^ { 2 }. 6 = 128 pi ( cm ^ { 3 } ) USD
Trên đây là hàng loạt kỹ năng và kiến thức và công thức về thể tích khối nón. Hy vọng rằng sau bài viết, những bạn học viên hoàn toàn có thể vận dụng công thức Toán hình 12 để giải những bài tập thật đúng mực. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kỹ năng và kiến thức lớp 12, hãy truy vấn ngay nền tảng học trực tuyến Vuihoc. vn và ĐK khóa học ngay từ ngày hôm nay !

>> XEM THÊM:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *